Wiskunde of waarheid

Thomas Colignatus, 24 en 26 december, 2011 en 4 januari 2012

Het volgende beschrijft een aparte reis van de geest die voert langs de krochten van menselijke geschiedenis en door versteende instituties met eigen belangen. Het gaat nu, kortom, over wiskunde.

Ik ben econometrist en in dit vak maken we economische modellen van de werkelijkheid met behulp van wiskunde en statistiek. Aan de universiteit in Groningen hadden wij onze colleges wiskunde samen met de studenten wis-, natuur- en sterrekunde. Na een diploma econometrie in Groningen 1982 heb ik nog een didactische aantekening wiskunde gekregen aan de universiteit in Leiden 2008. Mijn boek over de didactiek van wiskunde heeft onlangs een gunstige recensie gekregen. Hopelijk accepteert de lezer dat ik iets van wiskunde snap ook al kan het lijken of ik wonderlijke uitspraken doe.

Als docent wiskunde heb ik alleen bekwame en prettige collegae ontmoet. Er is een eindexamen waaraan gewerkt wordt en er is de oprechte poging leerlingen ook wiskunde bij te brengen. Als ik al kritiek zou hebben, dan niet daarop. Mij gaat het nu om de andere kant, de feitelijke constatering dat het fundamenteel en structureel fout gaat.

Er is een groot probleem in het onderwijs in wiskunde. Wiskundigen worden opgeleid voor abstracte theorie. Komen zij voor de klas te staan dan zien zij daar reëel bestaande leerlingen. Oei, au, oef. Een pijnlijk besef: wiskundigen hebben niet de empirische instelling die voor onderwijs nodig is. Wiskundigen lossen dit op door vast te houden aan een bepaalde traditie. Doe het maar zoals het altijd gedaan is dan werkt het een beetje, denken ze dan. Wanneer de leerling het niet snapt is het de schuld van die leerling zelf. En zo gaat het al eeuwen.

Ik overdrijf een beetje. Wiskundigen veranderen wel eens iets. Hans Freudenthal verzon de "realistische wiskunde". Hier was dus een theoreticus met het hoofd in de wolken die meende een beeld van de werkelijkheid te hebben. Nu was het voorgaande onderwijs in wiskunde nogal erg on-didactisch met "definitie, stelling, bewijs", dus misschien lukte het alleen daarom dat anderen zich lieten overtuigen om iets anders te proberen, in de richting van toegepaste wiskunde. Maar empirisch onderbouwd was het niet. Recentelijk constateert Ben Wilbrink: "ik heb geen serieus empirisch toetsend onderzoek door de wiskobas-groep kunnen vinden, dus geen onderzoek op basis waarvan Hans Freudenthal terecht zijn claim kon doen. En dit is niet de enige claim die de wiskobas-groep heeft gedaan." Ben Wilbrink snapt daarbij nog niet hoe erg het echt is.

Een voorbeeld. Voor "twee en een half" is de officiële schrijfwijze 2½. Voor "twee maal A" is de schrijfwijze 2A. Bijvoorbeeld 2√2. De schrijfwijze 2½ is dus als "twee maal een half". Voor boeken of bij typen is het nog wel te leren. Maar met de hand geschreven kan het fout gaan en kan een leerling plots denken 2 ½ = 1. Er zit veel onderwijstijd, bloed, zweet en tranen in aanleren bij leerlingen dat 2½ eerst "en" is en vervolgens dit weer een beetje afleren omdat 2A "maal" is. Waarom ? Alleen omdat het traditie is. Je kunt ook gewoon 2 + ½ schrijven voor "twee en een half", dan staat die "en" er ook precies. Vanuit didactisch oogpunt is dat ook logischer omdat het beter aansluit bij algebra. Het is ook een belangrijk wiskundig inzicht dat een symbool zowel passieve als actieve betekenis kan hebben. Bijv. bij √2 kun je de rekenmachine pakken om actief de decimalen te bepalen maar je kunt het ook passief laten staan om daarmee exact door te rekenen. De notatie van breuken toont dus hoe wiskundigen hechten aan traditie en geen zicht hebben op de empirische onderwijssituatie. In wezen doen ze afbreuk aan de wiskunde zelf. Het is een voorbeeld van een veel en veel langere lijst. Wanneer je wiskundigen hiervan vertelt krijg je glazige gezichten en sommigen gaan schelden. De verkeerde "wiskunde" wordt nu tegen hoge kosten in allerlei computerprogramma’s ingeprogrammeerd en Nederland heeft een hele kerstboom opgetuigd om kinderen "beter te laten rekenen".

Een ander voorbeeld. De wiskundigen hebben zich verenigd in het Platform Wiskunde Nederland (PWN). Ze zijn een publiciteitscampagne van plan waar het nodige geld in gaat zitten. Dus: men heeft vanaf de kleuterschool tot het eindexamen ontvankelijke kinderen beschikbaar om de schoonheid van wiskunde te laten zien, die kans wordt verknald, veel leerlingen gaan wiskunde haten, en vervolgens moet dit met reclame hersteld worden ...

Directeur Wil Schilders van PWN schrijft: "In het afgelopen jaar is gebleken dat het lastig is om ‘out of the box’ te denken, derhalve zullen hiervoor nieuwe stimulansen worden gegeven. Er zal veel ruimte en aandacht gegeven worden hieraan, iedere commissie zal nadrukkelijk worden gevraagd nieuwe ideeën aan te dragen. Zulke initiatieven zijn van groot belang voor het welslagen van de missie van PWN." (Euclides, december 2011, p127; alsook Nieuw Archief voor Wiskunde, december 2011, p289) Dit is een grove onwaarheid en de wiskunde onwaardig. Ik heb PWN, de commissie voor het onderwijs en ook professor Schilders zelf wel degelijk op de hoogte gesteld van mijn analyse en mijn boeken over het onderwijs in wiskunde. Niet meer van gehoord.

De onwaarheid van professor Schilders maakt me boos. Het is geschiedvervalsing. Het is de vos die de passie preekt. Het zijn de gekken die het gesticht, farizeeërs die de tempel, ondemocraten die het parlement hebben overgenomen. Nederland heeft het onderwijs in wiskunde toevertrouwd aan halve autisten die halfblind zijn voor de werkelijkheid. Het is als paters in internaten maar dan geen sexueel misbruik maar geestelijke mishandeling. Het is als borst-implantaten met industriële in plaats van medicinale siliconen. Het is als de woekerpolissen van DSB of de rommelhypotheken in de USA. De sector heeft geen zelfreinigend vermogen want is erop gericht zichzelf in stand te houden. De vorige minister van onderwijs en wetenschappen Ronald Plasterk deed niets. Nu doet hij alsof hij iets van economie snapt, en gezien het menselijk leed in Zuid Europa heeft hij zich in mijn analyse ontpopt als misdadige clown. Pff. Dat lucht een beetje op. Wanneer professor Schilders zo de onwaarheid spreekt dan hoop ik dat ik even naar waarheid met woorden mag reageren die duidelijk schetsen om welke spanning het gaat. Pff. Terug naar alledaags taalgebruik. Er is dus iets ernstig mis. Laat het parlement ingrijpen (of kies er een dat wel functioneert).

Waar ik spreek over geestelijke mishandeling in het onderwijs in wiskunde dan is het onjuist dat als literaire overdrijving te beschouwen want het is wel degelijk bedoeld als een empirische constatering. Iemand constateert bijvoorbeeld hier: "Bovendien is er een grote groep studenten die bij a^2 + b^2 = c^2 al rode vlekken in hun nek krijgt." Momenteel wordt het succes van het onderwijs in wiskunde gemeten als de "performance" van leerlingen, uitgaande van de onjuiste gedachte dat de onderliggende wiskunde goed is, met een instrument als PISA. Juister zou het zijn om daar een statistische indicator naast te zetten voor de veroorzaakte overmatige stress, vergelijkbaar aan de instrumenten als van de Onderwijszorg Nederland of de Stichting Benchmark GGZ. Voor dierenwelzijn is er al statistisch onderzoek maar huilende kinderen hebben hun onvoldoende zelf verdiend en krijgen een zakdoek, zo is althans het huidige verkeerde gedachtenpatroon.

Het is zoals gezegd een apart verhaal. Ik werkte als econometrist en wetenschapper bij het Centraal Planbureau, ontwikkelde een analyse over werkloosheid, en zag mij met onwaarheden ontslagen. Een alternatief was leraar wiskunde worden. Als student had ik al een boek over logica en methodologie geschreven. De creativiteit staat niet stil en als empirisch wetenschapper kijk ik blijkbaar iets verder dan pure wiskundigen. Vervolgens ontdek je weer een en ander. En dan begint weer zo'n circus: de boodschap is onwelgevallig maar je kunt de boodschapper pakken. Wat vreselijk jammer is is dat mooie inzichten plotseling belast worden met het gescheld en gemanipuleer door anderen. Ik weet geen betere oplossing dan netjes verslag doen van wat er gebeurt. Bijzonder is dat wiskundigen ook een rol hebben gespeeld bij het ontstaan van de crisis in economie en democratie. Wiskundigen hadden een beschermende rol kunnen spelen bij de ontsporing door de directie van het CPB maar blijken een eigen probleem te vormen. De reis van econometrie naar logica en wiskunde heeft zo ook wel weer tot nieuwe inzichten geleid.

(1) Lees eventueel verder over de betere wiskunde:

(2) Lees eventueel verder over het gedoe daaromheen: Thomas Colignatus is econometrist en leraar wiskunde. Hij had gehoopt dat wiskundigen logisch waren. Via harde definities, stellingen en bewijzen zouden zij van diepere inzichten overtuigd raken. Helaas. Tevens brengt hij een saluut aan Vaclav Havel, deze vrijdag begraven. De kwestie bij het CPB begon bij de val van de Berlijnse muur, zie hier, en het is zeer spijtig dat Havel door de censuur bij het CPB zo'n tegenwind van een verkeerde economische analyse heeft gehad.