Wiskundigen en democratie: Verwarring en misleiding - en het tegenhouden van kritiek daarop

Thomas Colignatus
22 juli 2011

Democratie vergt aandacht. Wanneer de aandacht verslapt dan kunnen er allerlei on-democatische zaken insluipen en die zijn vaak moeilijk ongedaan te maken. Onze nationale democratie is niet zo sterk. Politici houden opiniepeilingen, lezen de krant, en spreken met lobbyisten en mensen in het land. Eens in de vier jaar gaan we stemmen, waarbij de meningen meer door propaganda dan door studie lijken te worden geleid. Momenteel hebben we een minderheidsregering gesteund door een populistische leider zonder democratische politieke partij, wat vanuit traditioneel democratisch gezichtspunt niet langer een democratie kan heten. Het zou mooi zijn wanneer we een betere democratie zouden krijgen, met meer invloed van de burger op zijn omgeving. Zo is een van mijn adviezen om de verkiezingen jaarlijks te houden, zie "De ontketende kiezer". De politieke partij D66 pleit al jaren voor Amerikaanse methoden zoals districtenstelsel, referenda en direct gekozen premier en burgemeester. Maar deze voorstellen zijn minder doordacht, zie ook de situatie in de Verenigde Staten, en inderdaad de invloed van het populisme, en je zou kunnen denken dat D66 zich maar beter kan opheffen (maar dat is een politieke mening).

Wanneer wiskundigen aandacht aan democratie geven, dan klinkt dat mooi. Democratie verdient immers aandacht, en van wiskundigen verwacht je scherpe en steekhoudende argumentatie.

Helaas blijkt het tegendeel het geval. Wiskundigen blijken geen interesse in democratie te hebben maar willen blijkbaar alleen ‘hun ding doen’. Stellingen en bewijzen, daar gaat het hen om. Voor een echte studie van democratie kijk je naar geschiedenis, politicologie, staatsrecht, sociologie, en dergelijke. Wiskundigen negeren dit en richten zich op formules. Soms verwijzen ze naar een historisch voorbeeld maar dat is dan een vlag die de lading moet dekken. Het echte doel van wiskundigen is een stelling en bewijs zodat andere wiskundigen zeggen ‘oh wat een mooie stelling en bewijs’. Het gevolg van die wiskundige aandacht is dat de democratie verder in het slop is geraakt. 

Je zou de schuld ook bij niet-wiskundigen kunnen leggen. Niet-wiskundigen hebben namelijk zo’n ontzag voor wiskundigen dat ze aannemen dat wiskundigen wel gelijk zullen hebben. Zoals je ook je dokter gelooft wanneer hij of zij je pillen voorschrijft. Een beetje kritische instelling bij niet-wiskundigen zou beslist helpen. Toch ben ik geneigd om hier de hoofd-verantwoordelijkheid bij de wiskundigen te leggen. Want ze doen niet wat ze zeggen dat ze doen. Je gaat naar de dokter maar treft een kwakzalver.

Wiskundige Kenneth Arrow presenteerde in 1951 in zijn proefschrift een "onmogelijkheidsstelling". In de Palgrave encyclopedie van 1988 vat hij dit nog eens bondig samen: "there is no social choice mechanism which satisfies a number of reasonable conditions" – er is geen maatschappelijke keuze methode die aan een aantal redelijke eisen voldoet. Willen we in de maatschappij samen keuzes maken dan moeten we onredelijk worden, volgens Arrow. Je kunt ook zeggen dat democratie onmogelijk is. Er zijn inderdaad economen geweest die geconcludeerd hebben dat Arrow bewezen heeft dat dictatuur onvermijdelijk is. In feite is de verwarring groot en die verwarring over Arrow’s stelling heeft een grote ondemocratische invloed op het denken van intellectuelen gehad.

Ik heb de kwestie geanalyseerd in mijn boek "Voting Theory for Democracy" (VTFD). Een kernartikel is "Zonder tijd geen moraliteit", dat daarin is opgenomen, alsook in bovengenoemde "De ontketende kiezer", alsook het Tijdschrift voor het Economisch Onderwijs (TEO) 2002. In feite is VTFD het enige boek in de wereld dat goed uitlegt hoe het met Arrow’s stelling zit. Het toont ook waar Arrow ook wiskundig in de fout gaat. Voor een beperkt domein is diens stelling wel correct maar wanneer de meta-wiskundige interpretatie (van ‘redelijkheid’) ook weer in formules wordt gegoten dan blijkt e.e.a. onvolledig of tegenstrijdig.

Het blijkt enorm lastig om mensen aan het lezen en denken te krijgen. De directie van het Centraal Planbureau verbood bespreking en publicatie van mijn analyse en ontsloeg me met onwaarheden. Wiskundigen willen alleen ‘hun ding doen’, en niet-wiskundigen zijn gevangen in hun ontzag. Maar goed, de wetenschappelijke habitus is te publiceren, en dus schrijf ik mijn bevindingen op en zet deze op mijn website.

Een mogelijkheid was het publiceren van het kernartikel "Zonder tijd geen moraliteit" in Euclides, het blad van de leraren wiskunde. Het was al gepubliceerd in TEO en het zou mooi zijn wanneer ook de andere doelgroep er kennis van kon nemen. Democratie is een kernwaarde van ons (tot voor kort) democratisch land en het onderwerp zou een rol kunnen spelen in de lessen wiskunde. 

Helaas heeft de redactie van Euclides het artikel afgewezen. Hieronder staan de argumenten. Het is heel aardig dat de hoofdredacteur de moeite neemt om de argumenten nader uit te werken. Het blijkt helaas wel zo dat de argumenten geen hout snijden. Ik zond het artikel in juli 2008 in, ontving de afwijzing in oktober 2008, maar had pas in maart 2011 tijd om op de argumenten te reageren. Gezien het belang van het besef onder wiskundigen van hun misvattingen lijkt het me zinvol om de correspondentie op mijn website op te nemen.

Er is sprake van misleiding wanneer iemand weet dat A maar zegt dat B met als implicatie niet-A. Wiskundige Vincent van der Noort plaatste een artikel op kennislink dat democratie onmogelijk zou zijn. Ik lichtte hem in dat je dit niet zo kunt zeggen en dat het artikel op kennislink dus correctie behoeft. Helaas volhardt Van der Noort in zijn verwarring, wat op deze manier misleiding is geworden. Op 14 mei 2011 tradt hij op bij de oprichting van Platform Wiskunde Nederland. Het is jammer dat Euclides in 2008 niet tot publicatie van "Zonder tijd geen moraliteit" is overgegaan want dan was het huidige circus wellicht voorkomen. 

Aldus hieronder:

  1. De afwijzing uit 2008 door de redactie van Euclides van "Zonder tijd geen moraliteit"
  2. Mijn bespreking uit 2011 van die afwijzing
De structuur van het debat is aldus zo: (a) Arrow presenteert een stelling en interpretatie, (b) ik accepteer de stelling (voor het beperkte domein) en lever kritiek op die interpretatie, (c) mijn kritiek wordt tegengehouden. Het bijzondere is dat mijn kritiek wordt tegengehouden met argumenten die aan mijn kritiek zijn ontleend. 



Amsterdam, 7 oktober 2008
 

Beste Thomas Cool,

Het heeft even geduurd voordat ik u een commentaar kon sturen n.a.v. uw artikel "Zonder tijd geen moraliteit". Er hebben inmiddels drie referenten gekeken naar uw stuk, en op grond van hun commentaar heb ik besloten om uw stuk niet in Euclides te plaatsen, hoewel ik in eerste instantie wel dacht dat het interessant voor docenten zou zijn. 

Achteraf gezien realiseer ik me, dat ik vooral enthousiast was omdat het me inspireerde om over een voor mij onbekend onderwerp na te denken. Door het lezen van de commentaren van de referenten sluit ik me aan bij hun idee dat het filosofische karakter van uw artikel voor een wiskundedocent echter te weinig aanknopingspunten biedt om er in het onderwijs mee aan de slag te kunnen. Daarnaast heb ik van vakgenoten op het gebied van de Sociale Keuze theorie ook inhoudelijk commentaar gekregen waardoor ik twijfel aan plaatsing. De balans is daarmee doorgeslagen naar een afwijzing. Ik kan me voorstellen dat u hierdoor teleurgesteld bent en zal proberen de argumenten zo duidelijk mogelijk te noemen.

  • In Euclides streven we er naar om artikelen te plaatsen die voor de praktijk van het wiskundeonderwijs van belang zijn. Door het filosofische karakter van uw stuk staat het te ver af van de dagelijkse praktijk in de klas. U licht niet uitgebreid toe wat onder de begrippen redelijkheid en moraliteit moet worden verstaan en dat maakt dat het voor de lezers moeilijk is uw gedachtegang te volgen. Een van de referenten (een leek op het gebied van de Sociale Keuze theorie) gaf aan dat uw betoog te onduidelijk van structuur en opzet is. Het doel van het stuk en de gebruikte begrippen worden onvoldoende uitgewerkt. Er zijn enerzijds passages die overbodig zijn en andere die meer aandacht dienen te krijgen. 
  • De duidelijke link die u legt tussen Arrow’s stelling en het onmogelijke karakter van democratie lijkt niet te zake. Een van de referenten drukte het als volgt uit: "Analoog hieraan is de onzekerheidsstelling van Heisenberg. Ondanks deze onzekerheid blijven we Fysica bedrijven." 
  • Ik citeer dezelfde referent: "De uitleg van Arrow’s onmogelijkheidsstelling kan veel explicieter. De discussie over de (on)redelijkheid van Arrow’s condities, zoals hier gevoerd, is overbodig. Immers waarom zouden redelijke condities niet in strijd met elkaar mogen zijn ( je mag niet doden, maar je mag je ook verdedigen). Let wel dat er varianten van Arrow’s condities (zoals monotonie) zijn waarmee vergelijkbare onmogelijkheden af te leiden zijn. Arrow’s stelling zegt dat je heel voorzichtig moet zijn met het simultaan veronderstellen van allerlei redelijke condities. Deze conclusie die uiteindelijk gedeeltelijk gemaakt wordt, behoefd geen lang betoog. Overigens, terzijde, een fiets met vierkante wielen blijft net zo weinig staan als een met ronde, indien de banden niet plat en verbreedt worden." 
  • Naar mening van de referenten worden de Borda Fixed Point regel en de Pareto-regel onzorgvuldig besproken. 
  • De in het artikel genoemde alternatieve procedure wordt niet uitwerkt. De lezer blijft daardoor in het ongewisse wat die optimale methode dan wel zou zijn. 
Ik denk niet dat ik u hiermee naar tevredenheid heb kunnen informeren.
Ik hoop wel dat het duidelijk is.

Met een vriendelijke groet,
(de hoofdredacteur)



Van Thomas Colignatus
Aan Redactie Euclides

2011-03-19 

Geachte redactie,

Ik zond u op 2008-07-15 een artikel Zonder tijd geen moraliteit, met (a) de melding dat het eerder in het Tijdschrift voor het Economisch Onderwijs (TEO) was verschenen, en (b) de suggestie dat het nuttig zou zijn dat ook leraren wiskunde er kennis van zouden nemen.

Op 2008-10-07 kreeg ik van u onderstaand antwoord. Ik heb tot op heden geen tijd gehad om daarnaar te kijken. Bijgaand is mijn reactie. Helemaal hieronder [nu hierboven / TC] staat ononderbroken uw oorspronkelijke tekst. In het direct navolgende geef ik in blauw commentaar tussendoor.

De kwestie blijft actueel. Het Epsilon boekje "Verkiezingen, een web van paradoxen" is nog niet uit de handel genomen, http://www.epsilon-uitgaven.nl/Z8.php. Op 2009-06-20 schreef Wiskundemeisje Ionica Smeets nog baarlijke en antidemocratische onzin in de Volkskrant – en zij was niet tot correctie bereid en de tekst staat gewoon nog op internet http://www.wiskundemeisjes.nl/20090622/meeste-stemmen-gelden. Ook Vincent van der Noort op Kennislink wil de rare stelling niet corrigeren "De (nog niet eens zo heel) Volmaakte Democratie is wiskundig bewezen (niet te verwarren met statistisch bewezen) onhaalbaar" http://www.kennislink.nl/publicaties/is-democratie-wiskundig-onmogelijk. Ik heb ook nog geen correctie ontvangen van het netwerk van Social Choice onderzoekers: http://thomascool.eu/Thomas/English/Science/Letters/SCT-working-group.html. In Engeland staat het districtenstelsel weer ter discussie. Het zou mooi zijn wanneer misverstanden worden weggenomen.

Dat enige tijd is verstreken zou het voordeel kunnen hebben dat u met een fris oog naar de zaak kijkt.

Met vriendelijke groet,
Thomas Cool / Thomas Colignatus



Amsterdam, 7 oktober 2008
 

Beste Thomas Cool,

Het heeft even geduurd voordat ik u een commentaar kon sturen n.a.v. uw artikel "Zonder tijd geen moraliteit". Er hebben inmiddels drie referenten gekeken naar uw stuk, en op grond van hun commentaar heb ik besloten om uw stuk niet in Euclides te plaatsen, hoewel ik in eerste instantie wel dacht dat het interessant voor docenten zou zijn. 

Achteraf gezien realiseer ik me, dat ik vooral enthousiast was Leuk om te horen omdat het me inspireerde om over een voor mij onbekend onderwerp na te denken. Door het lezen van de commentaren van de referenten sluit ik me aan bij hun idee dat het filosofische karakter van uw artikel Oei, het is heel wiskundig onderlegd, met gebruik van termen die scherp zijn gedefinieerd voor een wiskundedocent echter te weinig aanknopingspunten biedt om er in het onderwijs mee aan de slag te kunnen. Daarnaast heb ik van vakgenoten op het gebied van de Sociale Keuze theorie (die mijn werk niet lezen) ook inhoudelijk commentaar gekregen waardoor ik twijfel aan plaatsing. De balans is daarmee doorgeslagen naar een afwijzing. Ik kan me voorstellen dat u hierdoor teleurgesteld bent en zal proberen de argumenten zo duidelijk mogelijk te noemen.

  • In Euclides streven we er naar om artikelen te plaatsen die voor de praktijk van het wiskundeonderwijs van belang zijn. Helemaal mee eens. Door het filosofische karakter van uw stuk staat het te ver af van de dagelijkse praktijk in de klas.

  • Nou, kijk, er zijn bijv. drie artikelen denkbaar: 
    (1) Een waarin je het wiskundig uitbouwt, zie Hoofdstuk 9.2 op pag 254 e.v. in "Voting theory for democracy" met ook nette definities voor redelijkheid en moraliteit, zie http://thomascool.eu/Papers/VTFD/VotingTheoryForDemocracy.pdf
    (2) Een waarin je direct de misvattingen aanpakt die onder wiskundigen leven: maar ook dat is niet nuttig voor de klas, 
    (3) Een waarin je uitgaat van de klas, de leerlingen aan de hand van een cijfervoorbeeld meeneemt naar de misvatting van Arrow, en dan de oplossing geeft. Dat laatste is de aanpak van dit artikel.
  • U licht niet uitgebreid toe wat onder de begrippen redelijkheid en moraliteit moet worden verstaan en dat maakt dat het voor de lezers moeilijk is uw gedachtegang te volgen. Het is juist Kenneth Arrow die de begrippen redelijkheid en moraliteit vaag houdt, en met deze vage termen beweert dat democratie onmogelijk zou zijn. Mijn analyse (zie bovenstaand hoofdstuk 9.2) ben ik juist degene die een nette formalisatie van die begrippen geeft en tot afwijzing van zijn verbale interpretatie kom. Bij het schrijven leek het me dat mensen wel aanvoelen wat onder redelijkheid en moraliteit verstaan worden, maar als het de publicatie van het artikel helpt kan ik een paragraaf toevoegen dat uitlegt dat Arrow hierover vaag was maar goede definities zijn.
  • Een van de referenten (een leek op het gebied van de Sociale Keuze theorie) gaf aan dat uw betoog te onduidelijk van structuur en opzet is. Het doel van het stuk en de gebruikte begrippen worden onvoldoende uitgewerkt. Er zijn enerzijds passages die overbodig zijn en andere die meer aandacht dienen te krijgen. Het doel van het artikel is heel precies, namelijk aanpak (3) van bovenstaande 3 mogelijkheden. Eerst wordt men meegenomen in de misleidende redenering van Arrow, en dan wordt een oplossing geboden. Maar dat kan die leek natuurlijk niet beoordelen. Een leerling weet nooit wat hij gaat leren. De structuur is duidelijk gekozen. 
  • De duidelijke link die u legt tussen Arrow’s stelling en het onmogelijke karakter van democratie lijkt niet te zake. Een van de referenten drukte het als volgt uit: "Analoog hieraan is de onzekerheidsstelling van Heisenberg. Ondanks deze onzekerheid blijven we Fysica bedrijven." Een gotspe. Deze recensent gebruikt mijn eigen inzicht om het artikel te bekritiseren ! Ik ben het juist zelf de zegt: ondanks Arrows stelling over de ‘onmogelijkheid’ moeten mensen een constitutie kiezen en hun stem uitbrengen ! Lijkt niet ter zake ? Het is juist zeer ter zake de misvattingen over Arrow’s stelling en zijn interpretatie uit de wereld te helpen. Zie die misvattingen van Smeets, Van der Noort, De Swart e.a. – en dan ook internationaal.
  • Ik citeer dezelfde referent: "De uitleg van Arrow’s onmogelijkheidsstelling kan veel explicieter. De discussie over de (on)redelijkheid van Arrow’s condities, zoals hier gevoerd, is overbodig. Immers waarom zouden redelijke condities niet in strijd met elkaar mogen zijn ( je mag niet doden, maar je mag je ook verdedigen). Een gotspe. Deze recensent gebruikt mijn eigen inzicht om het artikel te bekritiseren ! Het is juist Kenneth Arrow die stelt dat redelijke condities niet met elkaar in strijd mogen zijn, en mensen als Smeets, Van der Noort, De Swart e.a. die hen napraten. Ik ben het juist zelf die zegt, letterlijk in dit artikel: "Voor de axioma’s bestaat het onderscheid tussen ‘redelijk’ en ‘ieder op zich redelijk lijkend’." Let wel dat er varianten van Arrow’s condities (zoals monotonie) zijn waarmee vergelijkbare onmogelijkheden af te leiden zijn. Arrow’s stelling zegt dat je heel voorzichtig moet zijn met het simultaan veronderstellen van allerlei redelijke condities. Neen, het moet ‘redelijk lijkend’ zijn. Want zodra ze met elkaar in strijd zijn kun je niet meer aan absolute redelijkheid vasthouden. Deze conclusie die uiteindelijk gedeeltelijk gemaakt wordt, Niet gedeeltelijk, perfect. behoefd geen lang betoog. Juist wel, gezien de grote onzin die er n.a.v. Arrow’s interpretatie van zijn stelling wordt verkondigd, en de stagnatie op het terrein van onderzoek naar democratie. Nogmaals, als ik structuur (2) had gekozen dan had ik het meteen in het begin kunnen zeggen, maar het gaat nu om een artikel van structuur (3). Overigens, terzijde, een fiets met vierkante wielen blijft net zo weinig staan als een met ronde, indien de banden niet plat en verbreedt worden. Een uitermate flauwe en niet ter zake opmerking, die een diepe behoefte kan verraden om het beter te weten en om te verbergen dat men het eerder fout zag.
  • Naar mening van de referenten worden de Borda Fixed Point regel en de Pareto-regel onzorgvuldig besproken. Dit is curieus. De Borda Fixed Point regel heb ik zelf verzonnen en ik mag aannemen dat ik die wel kan uitleggen. Wat er onzorgvuldig zou zijn aan de bespreking van de Pareto regel hoor ik graag.
  • De in het artikel genoemde alternatieve procedure wordt niet uitwerkt. De lezer blijft daardoor in het ongewisse wat die optimale methode dan wel zou zijn. Ik geef alleen de hoofdlijn. Voor dit artikel is dat voldoende. De lezer / leerling is meegenomen naar de misvatting van Arrow (en diens aanhangers) en vervolgens naar de oplossing: waarvan een klein voorbeeld wordt gegeven. Dat is voldoende. Ten aanzien van een volledige beschrijving van de Borda Fixed Point methode ben ik terughoudend. Een patent is duur en verloopt voordat wiskundigen bereid zullen zijn om hun fouten toe te geven. Ik stel mijn software beschikbaar onder bescherming van de gewone commerciële voorwaarden, dat is wel zo veilig en duurzaam. Wanneer de parlementen en gemeenteraden in de wereld gebruik willen maken van de methode maar ook willen dat volledige specificaties worden vrijgegeven dan wil ik daar met alle plezier over praten. Ik kan me niet voorstellen dat die specificaties reeds nu vrijgegeven moeten worden, want zulks is niet nodig om de misvatting te herstellen die nu onder wiskundigen en denkelijk ook leraren wiskunde heersen omtrent de betekenis van democratie en de stelling van Arrow en de interpretatie daarvan.
Ik denk niet dat ik u hiermee naar tevredenheid heb kunnen informeren.
Ik hoop wel dat het duidelijk is.

De uitvoerigheid stel ik zeer op prijs want deze geeft gelegenheid om misverstanden recht te zetten.

Met een vriendelijke groet,
(de hoofdredacteur)