CPB × wiskunde = belachelijk + gevaarlijk

Thomas Colignatus
12 juli 2011

Er is iets ernstig mis met het onderwijs in wiskunde. Wiskunde kan leuk zijn, bevrijdend werken, en het kan je helpen bij het begrijpen van complexe zaken. In plaats van al dit moois zien we echter sleur, verplichting, nutteloosheid. Iets is ernstig mis. Het onderwijs in wiskunde is een bedrijfstak geworden, en deze bedrijfstak slaagt er niet in om het leuke, bevrijdende en nuttige tot uiting te brengen. 

Is het probleem alleen dat kinderen gewoon naar school moeten en dat school onvermijdelijk betekent dat zaken verplicht en saai worden ? Mijn suggestie is om deze zaken echter van verschillende kant te belichten. Aan "naar school gaan" kunnen we weinig doen maar wel aan wat er op school gebeurt. In de meer dan vijf jaar dat ik onderwijs heb gegeven in wiskunde in het hoger en het voortgezet onderwijs heb ik alleen maar prettige, bekwame en gemotiveerde wiskunde-collegae ontmoet. Het probleem zijn derhalve niet de mensen maar het ligt structureel. 

In voorjaar 2009 schreef ik het boek Elegance with Substance met een evaluatie van het onderwijs in wiskunde. Er zijn fundamentele mankementen in de bedrijfstak, waaronder de onderwezen "wiskunde" zelf. Deze gebreken hebben grote economische gevolgen. Een land met slechte wiskunde levert welvaart in. De woekerpolissen van de DSB-Bank hadden weinig kans gehad wanneer meer mensen beter onderwijs hadden gehad. De schone beloften van politici zouden minder kans krijgen wanneer mensen beter in staat waren hun knopen te tellen. In juni 2011 is er nu een rapport van het Centraal Planbureau (CPB) dat een dreigende achteruitgang in het onderwijs constateert, met name bij wiskunde. Op de langere termijn kan de dreigende neergang wel "enkele procenten" van het nationaal inkomen kosten, oftewel 6-12 miljard per jaar.

Maar ik en mijn voormalige collegae van het CPB geven andere analyses. Het is heel belangrijk om het verschil te zien, want het CPB is belachelijk en gevaarlijk bezig.

Het kernpunt in mijn analyse is dit: wiskundigen worden opgeleid tot abstracte theorie maar wanneer zij als leraren voor de klas komen te staan worden zij plots een werkelijkheid van echt bestaande leerlingen geconfronteerd. Voor onderwijs is een empirische instelling nodig welke wiskundigen ontberen. Weliswaar krijgen wiskundeleraren in hun opleiding een voorbereiding voor het vak maar die lerarenopleiding is fundamenteel onvoldoende om de empirische instelling te krijgen die daarvoor al is verpieterd. 

De wiskundigen proberen hun probleem op te lossen door zich vast te houden aan traditie. Wat in het verleden "gewerkt" heeft wordt voortgezet, want "het zal dan wel goed zijn". Dit is een theoretische aanname die in strijd is met de werkelijkheid. Het gevolg is dat de leerstof vol met ongerijmdheden zit, waardoor leerlingen gekweld worden en hen het plezier en succes wordt onthouden dat bij goede wiskunde mogelijk is. Didactische "vernieuwingen" zoals Freudenthal’s "realistische wiskunde" zijn erop gericht nog betere manieren te vinden om leerlingen de ongerijmdheden in de maag te splitsen. Ook Freudenthal stelt het probleem dus verkeerd - wat je je ook wel kunt voorstellen als een wiskundige probeert te bepalen wat "realisme" is. 

Laat ik een eenvoudig voorbeeld geven uit de vele mogelijke voorbeelden. Een gebroken getal als twee-en-een-half wordt voorgesteld als 2 + ½ = 2½. Merk op dat in de uitspraak al de term "en" voorkomt, van de optelling. Daarnaast is de vermenigvuldiging met bijvoorbeeld 2A voor "twee maal A". Of bijvoorbeeld 2?2 voor "twee maal wortel twee". Voor vermenigvuldigen mag je ook een tussenliggende spatie schrijven, zoals "2 A". Wanneer we vaste posities gebruiken dan valt het nog wel te begrijpen en te leren. De regel is: wanneer twee uitdrukkingen naast elkaar staan is het standaard vermenigvuldigen, met als uitzondering de gebroken getallen zoals 2½ waar het een optelling is. Echter, bij handgeschreven teksten zoals bij huiswerk of repetities kan het voorkomen dat een leerling wat ruimte tussen de symbolen laat, zodat er 2 ½ komt te staan. Wanneer de leerling even niet oplet, bijvoorbeeld omdat hij met een andere stap bezig is en daarna weer op de 2 ½ terugkomt, dan kan hij concluderen 2 ½ = 2 × ½ = 1. De notatie van gebroken getallen is verzoeken om dergelijke fouten. De notatie noodzaakt heel veel oefenen, zowel om de uitzondering te leren als om het goed te schrijven, zonder dat dit oefenen tot begrip bijdraagt. Onderwijstijd wordt verspild alleen omdat er in de traditie ooit zo’n notatie is ontstaan. Wanneer wiskundigen oog zouden hebben voor de empirie van wat er in de klas gebeurt dan hadden ze allang een systematische notatie gekozen waarvoor al die poespas niet nodig is. Mijn suggestie voor een oplossing is om bij "twee-en-een-half" de "en" gewoon te blijven schrijven, zodat je 2 + ½ als eindstation krijgt. Een som is ½ + ¾ = 1 + ¼. Op deze wijze geschreven blijft de wiskunde volstrekt helder, en het is verlost van het risico van die genoemde fout en de noodzaak van het leren van zo’n uitzondering. Hiermee is ook verhelderd dat het schrijven van 2 + ½ = 2½ alleen maar een som lijkt en geen echte som is.

Zoals gezegd is dit maar een klein voorbeeld van een lange waslijst in mijn boek Elegance with Substance. Anno 2011 is het pijnlijk te constateren dat de wiskundigen aan de analyse voorbijgaan. Het boek werd verwijderd van Arxiv.org. In Euclides, het blad van de wiskundeleraren, acht recensent Ger Limpens het boek uiteindelijk wel bruikbaar, maar de toon van zijn recensie is erg negatief met wonderlijke verdachtmakingen en de suggestie dat ik een Don Quijote zou zijn. Je zou van mensen die de wiskunde een goed hart toedragen toch anders verwachten. Een bespreking in het Tijdschrift voor het Economisch Onderwijs (2009, no 4, p34) geeft daarentegen de argumentatie netjes weer. In 2009 was ook de Commissie Lenstra bezig over het rekenonderwijs. Ik heb hen vroegtijdig ingelicht maar het heeft geen effect op het rapport gehad. Professor Lenstra poetst het koper, en laat het goud van een werkelijke verbetering liggen. Men blijft zoeken naar nog betere manieren om leerlingen 2½ te laten schrijven, en ook op de PABO moet er duchtig tijd aan verspild worden. IJverig is men aan de slag met computerprogramma’s waarin deze en andere traditionele ballast wordt vastgelegd en waardoor het nog moeilijker wordt om ervan af te komen. Het Platform Wiskunde Nederland (PWN), het nieuwe samengaan van de Ned. Vereniging van Wiskundeleraren (NVvW) en het Koninklijk Wiskundig Genootschap (KWG), houdt de boot af. De wiskundemeisjes kwamen er ook niet aan toe om er aandacht aan te geven. Zie een overzicht van de (non-) reacties.

Het CPB doet het advies van (1) een grotere kwaliteit van docenten, (2) meer uren wiskunde, en (3) betere controle op de uitvoering. Dit sluit aan bij de gedachten binnen het Platform Wiskunde (PWN). Zoals de onderzoekers van het CPB zelf schrijven verschilt de diagnose niet van een eerdere studie van het CPB in 2007 (door Bert Minne). Voor leerlingen kan het een verschil zijn tussen havo of vwo. Natuurlijk lijkt het beter om überhaupt de eisen te verhogen. Dit verschilt wel van de eerdere aandacht voor voor- en vroegschools onderwijs uit het CPB-rapport "Kansrijk kennisbeleid" uit 2006 (door Maarten Cornet) dat aansluit bij het onderzoek van Nobelprijswinnaar James Heckman (die Niels Vermeer in 2011 niet noemt). 

Pijnlijk is dat ook het CPB voorbijgaat aan de analyse in Elegance with Substance. Het boek is opgenomen op het economisch MPRA-archief zodat de oud-collegae op het CPB het hadden kunnen vinden. Echter, het CPB in zijn huidige opzet heeft stelselmatig de neiging oogkleppen op te zetten. De oud-collegae zien de werkelijkheid via het filter van tijdreeksen of andere manieren om een R-kwadraat te berekenen. In de praktijk slikt het CPB rare uitkomsten vaak nog op tijd in en komt met uitkomsten die sommigen allang bepleitten, zoals de wiskundigen al jaren pleiten voor die punten (1) t/m (3). Wezenlijke critische analyses krijgen zo weinig kans.

We hebben nu dus zowel wiskundigen die hun kop in het zand steken en als een CPB dat adviseert dat we meer van zulke wiskundigen krijgen en dat er op school meer uren voor worden vrijgemaakt. De situatie is belachelijk en gevaarlijk.

Thomas Colignatus (1954) is econometrist en leraar wiskunde. Hij was wetenschappelijk medewerker bij het Centraal Planbureau in 1982-1991 en adviseert sinds 1990 tot een parlementaire enquête naar de werkloosheid en de rol daarbij van het CPB. Sinds 2004 adviseert hij tot een boycot van Nederland totdat die censuur is opgeheven. Sinds 2009 adviseert hij tot een parlementair onderzoek naar het onderwijs in wiskunde. Zie de drie bijlagen hieronder.

Bijlage (1):

Email 11 juli 2011
Aan de directies van de uitgeverijen van
- Getal en Ruimte (EPN)
- Moderne Wiskunde (Noordhoff)
- Netwerk (Noordhoff)
- Wageningse Methode (Stichting)
- Van Basis tot Limiet (Die Keure)
- Delta (Noordhoff - Wolters - Plantyn)
- Absoluut & Argument (De Boeck)
- Elk kind telt (Van In)
cc. Platform Wiskunde Nederland, Beter Onderwijs Nederland, VVWL
cc. Harry Sterk, CEO Wolters Kluwer

Geachte directies,

In mijn boek "Elegance with Substance" (2009) geef ik voor een breed publiek aan wat er mankeert aan het onderwijs in wiskunde, en waarom een parlementair onderzoek gewenst is. Er is nu ook "Conquest of the Plane" (2011): zowel een "primer" voor docenten als een voorbeeld hoe het in de klas uit kan gaan zien. Markup links naar die boeken staan hieronder.

Wanneer mijn analyse wordt geaccepteerd dan moeten alle boeken en software in de wiskunde in de wereld op de schop. Veel van wat u nu aan het ontwikkelen bent kan dan afgeschreven worden. Dit geldt ook voor andere vakken waarin wiskunde wordt gebruikt. Een klein voorbeeld is dat "twee en een half" beter als "2 + 1/2" wordt geschreven en niet aan elkaar (want dan lijkt het op "twee maal een half").

Kernpunt in mijn analyse is dat wiskundigen worden opgeleid voor theorie, maar wanneer ze in de klas komen dan zijn daar plotseling werkelijk bestaande leerlingen, en dat vergt een empirische instelling. Wiskundigen proberen hun onvermogen op te lossen door op de traditie te vertrouwen. Maar op deze wijze zijn er vele onhandigheden in het lesmateriaal ingeslopen, die wiskunde voor leerlingen tot een ramp maken. Vanzelfsprekend zijn wiskundigen ook goedbedoelende mensen maar pogingen zoals de New Math of Realistische Wiskunde zijn niet alleen goedbedoeld maar ook rampzalig gebleken. In een Platform Wiskunde Nederland proberen de Nederlandse wiskundigen nu meer aandacht te vragen voor wiskunde, onder meer met PR en reclame, maar men heeft bijna de hele bevolking voor 12 jaar lang als "captive audience" gehad, en wanneer je er dan in slaagt om zo'n leuk onderwerp zo te verknallen, dan snap je niet waar je mee bezig bent. Voor de goede orde: in de zeven jaar dat ik zelf les in wiskunde heb gegeven ben ik alleen sympathieke collegae tegengekomen: het probleem is dus structureel.

Ik richt me gaarne tot u als uitgevers, in de hoop dat u een maatschappelijke taak ziet. U definieert uw rol t.a.v. het onderwijs als die van pro-actieve begeleiders en mijn hoop is dat u mijn analyse wilt meenemen.

Zoals gezegd is mijn eigen conclusie dat ieder land zijn parlementair onderzoek houdt om middelen vrij te maken. Ik houd me aanbevolen wanneer u die conclusie zou onderschrijven. Wel zou ik u adviseren daar niet op te wachten. Het zou onverstandig zijn bestaande investeringen voort te zetten in de hoop die later elders te kunnen declareren. 

Mijn advies is dat u in uw omgeving op zoek gaat naar mensen met een open geest, en hen vraagt u over genoemde boeken en analyse van advies te dienen. Wanneer men een wiskundige over deze materie spreekt is het verstandig altijd eerst te controleren of men de analyse wel bestudeerd heeft. Van belang lijkt me dat de discussie in openheid plaats vindt en ook internationaal. Te denken valt aan workshops, congressen, publicaties, juist ook met vakgebieden die wiskunde gebruiken, zoals natuurkunde, economie, en dergelijke. 

Met vriendelijke groet,

Thomas Cool / Thomas Colignatus
Econometrist en leraar wiskunde
Scheveningen

Bijlage: Markup links naar mijn twee boeken, leesbaar in PDF:

http://thomascool.eu/Papers/Math/Index.html

http://thomascool.eu/Papers/COTP/Index.html
 

Bijlage (2):

Op de website van "Beter Onderwijs Nederland" zijn deze twee teksten van Ben Wilbrink te vinden: over methodologie en blind zijn voor uitkomsten. Freudenthal zelf keert zich uitdrukkelijk tegen methodologie zoals voorgestaan door A.D. de Groot (een van de oprichters van het CITO). Op zich kan men zich daar iets bij voorstellen, zie Paul Feyerabend "Against Method". Het lijkt me als econometrist toch wenselijk om gebruik van data te maken, en deze natuurlijk critisch te hanteren. Wat belangrijk is, echter, is zich realisteren dat Wilbrink hier weliswaar Freudenthal en het FI aan de kaak stelt, maar dat dit nog niet betekent dat nu het "evidence based education" tot Nederland is doorgedrongen. Immers, ook de critici gebruiken geen harde data en ontwikkelen nog steeds het onderwijs op de oude introspectieve en marginaal toetsende wijze. Bijvoorbeeld de introductie van Wiskunde D is nog lang niet "evidence based" zoals men bij farmacologie zou eisen. Het probleem ligt fundamenteel. Wiskundigen denken met cijfers te kunnen omgaan maar hebben geen empirische instelling.
 

Bijlage (3):

In mijn oordelen over verschillende zaken probeer ik deze zaken gescheiden te houden. Ten behoeve van de objectiviteit is het wel wenselijk te melden dat ik protesteer tegen censuur van de wetenschap en machtsmisbruik door de directie van het CPB, zie ook deze brief aan wetenschappelijke collegae van het CPB. 

Pijnlijk is wat ik inmiddels allemaal rondom Gerrit Zalm moet constateren, die begon met de censuur en het machtsmisbruik. De huidige directeur Coen Teulings doet er niets aan, en zet de censuur en het machtsmisbruik derhalve gewoon voort. Merk op dat de economische crisis mijn gelijk bevestigt, maar dit wordt door Teulings gewoon genegeerd. Er is bijv. geen bespreking van mijn analyse in het CPB-boek over de crisis.

Pas bij een serieus wetenschappelijk Economisch Hof kunnen we de analyses verwachten waar we werkelijk wat aan hebben.

PM. Critische lezer X: "Als je CV klopt, dan weet je wat een parlementair onderzoek is. Wel een beetje reëel blijven." Mijn antwoord was: "Ah, je begrijpt niet dat ik ook het parlement wil hervormen ?" En het antwoord daarop van X was: "Nee. Maar een beetje ambitie is nooit weg." Het is allemaal wat kort door de bocht want het gaat ook om de houding van burgers ten opzichte van het parlement. Burgers geven de samenleving vorm via het parlement, dat derhalve via onderzoek inzicht naar mogelijkheden en preferenties verzamelt. Als tegenhanger van het wetenschappelijk Economisch Hof aldus een actievere democratie. Zie "De ontketende kiezer".