De KNAW thema-bijeenkomst "Rekenen" deugt niet
(30 juni 2014 over het onderwijs, het vak en de toets)

 

Thomas Colignatus
Econometrist (Groningen 1982) en leraar wiskunde (Leiden 2008)

2, 4 & 5 juli 2014

 

Het navolgende doet verslag van een kort bezoek aan de hel op 30 juni 2014 aan de Kloveniersburgwal 29 te Amsterdam (thema-bijeenkomst).

Het maatschappelijk verschijnsel dat mensen elkaar demoniseren bleek deze middag door wiskundigen tot perfectie doorgevoerd. Tot ons spraken Lucifer, Beëlzebub, Baal, de Duivel z'n Moer, Ahriman, diverse duivelsknechten, en zelfs Satan himself. Ook sprak Jan van der Craats die ofwel een engel is ofwel een wel zeer duivels plan trekt. Zijn pleidooi voor herinvoering van de staartdeling deed de duivels angstvallig hun staarten beschermen, met dus vooral rook & vuur en weinig wiskundig didactische helderheid.

Lucifer

Lucifer verscheen in de gedaante van Jan Karel Lenstra (hoogleraar in de wiskunde van roosters, combinatorische optimalisering, Traveling Salesman). Lucifer was reeds hoofdauteur van het falende KNAW-rapport uit 2009 over het rekenonderwijs op de basisschool.

Zie: Professor Lenstra poetst het koper, in Een kind wil aardige en geen gemene getallen (2012).

Problemen die niet in het primair onderwijs (PO) worden opgelost werken door in het voortgezet onderwijs (VO), dat ook weer zijn eigen problemen kent. Denkstappen zijn dan:

  • Bij rekenproblemen in het PO gebiedt de didactiek dat de bestaande 150000 onderwijzers in het PO bijgeschoold moeten worden. Jong-niet-geleerd is immers (vaak) oud-niet-kunnen.
  • De overheid heeft een batterij van rekeneisen en toetsen geformuleerd, juist voor leerlingen op het VO en nieuwe leraren in PO-VO, zie http://www.10voordeleraar.nl.
  • Er wordt juist niet of nauwelijks naar de bestaande onderwijzers op het PO gekeken.
  • De bestuurlijke logica zal zijn dat bijscholen in het PO betrekking heeft op alle 150000 onderwijzers, waarvan een belangrijk deel zou kunnen afvallen, terwijl in het VO alleen de 4000 docenten wiskunde worden getroffen (terwijl de leerlingen niet meetellen).
  • Lucifer laat dat met ongetwijfeld duivels genoegen gebeuren.

Lenstra bekende vóór 2009 niets met wiskunde en rekenen in het PO-VO te maken te hebben of zelfs te willen hebben maar er nu drie dagen per week mee bezig te zijn. Als een chirurg die nooit medicijnen heeft gestudeerd hanteert de roostermaker nu echter vaardig hakbijl en slagersmes ter bevordering van zijn vage ideaal van beter onderwijs. Andere wiskundigen zijn hiervan danig onder de indruk. Iemand met zulke mooie theorieën over het roostermaken moet beslist ook veel van het PO-VO weten (waar tenslotte veel roosters worden gebruikt).

De zakpercentages voor de rekentoets zijn ongeveer: MBO 60%, HAVO 70%, VWO 20%. Het gaat hier alleen nog om funderende referentieniveaus F2 en F3. Een commissie Meijerink had ook "streefniveaus" S1, S2 en S3 op hoger niveau van abstractie geformuleerd (zie Volgens Bartjens), bedoelend dat deze ook gehaald dienden te worden. De implementatiecommissie onder leiding van ir. Victor Schmidt (SLO) las het woordje "streven" als iets ijdels en besteedde er daarom geen aandacht meer aan. Hiermee werd de hel dus flink uitgebreid. Er is nu de Commissie Bosker die het "misverstand" moest repareren. Bij dit middagbezoek aan de hel bleek ook Bosker de kwellingen te kunnen uitbreiden, zie onder.

Een sleutelrol bleek weggelegd voor Jan van der Craats, mogelijk engel maar wellicht toch ook duivel. Van der Craats stelt dat de huidige toetsen niet deugen, en dat zou natuurlijk ook een verklaring voor de lage slaagpercentages kunnen zijn. Maar hij stelt ook dat als de toetsen wel zouden deugen, zij nog steeds op een te laag niveau toetsen, inderdaad F en niet S. Hier loopt Van der Craats samen op met Lucifer, dat hard gewerkt moet worden aan betere toetsen in het VO, in plaats van het land plat te leggen totdat de problemen in het PO worden aangepakt.

Het probleem is ook breder dan alleen rekenen. Wederom is ledigheid het oorkussen van onze Lucifer, want hij doet ook niets aan het problemen in het onderwijs in wiskunde in het algemeen.

Dat Lucifer hier niets aan doet, zou ons eigenlijk moeten verheugen, want hij zou de ellende natuurlijk alleen maar vergroten. Toch, doordat menigeen hem blijkbaar als autoriteit ziet, is er een leegte, en dat is ook weer niet goed. Deze middag bekende Lucifer dat het niet de minister maar dat het eigenlijk Alexander Rinnooy Kan was, die hem gebeld had en gevraagd had iets aan het rekenonderwijs te doen, omdat ook diens dochter niet goed bleek te kunnen rekenen. Zijn KNAW en CWI verantwoordelijk, ook al zijn ze niet deskundig ?

Wiskunde als abstractie versus didactiek als empirie

Hier wreekt zich de opleiding in wiskunde. Wiskundigen zijn opgeleid tot abstractie. Komen zij in de klas dan zien zij daar reëel bestaande leerlingen. Onderwijs blijkt dan een empirisch vak waar wiskundigen niet voor zijn opgeleid. De aanvullende opleiding tot leraar wiskunde kan blijkbaar niet meer ongedaan maken wat daarvoor reeds is misgegaan. Wiskundigen lossen hun cognitieve dissonantie op door vast te houden aan een over de eeuwen gegroeide onderwijstraditie. Maar die traditie is niet didactisch. De zogenaamde wiskundige helderheid en scherpte zijn fabeltjes. Zie hier in een notedop waar de structuurfout zit in het onderwijs in wiskunde en rekenen: de povere basis van leraren wiskunde in didactiek (empirie). Zie voor onderbouwing mijn boek Elegance with Substance (2009).

We zien de verdwazing der wiskundigen ook bij de "realistische" wiskunde van Hans Freudenthal (topoloog). Terwijl Diederik Stapel zijn eigen data verzon, verzon abstract denkende Freudenthal een hele "realiteit".

Homeopathie, Astrologie, Illuminati, Realistische Wiskunde. Zo past het in het rijtje.

Lenstra in Akademie Nieuws juli 2011, p5: "‘De kern is dat er meer evidence-based onderzoek moet komen’, aldus Lenstra. ‘Het realistisch rekenen is als zaligmakend dogma ingevoerd zonder empirische evidentie. En ook de pabo is door onderwijskundigen ingericht op basis van overtuigingen in plaats van op basis van wetenschappelijk onderzoek.'"

Wanneer Lenstra bereid is om na te gaan dat die claim van wetenschappelijkheid er wel degelijk was, dan zien we dus wetenschappelijk wangedrag op institutionele schaal.

Freudenthal heeft in 1968 zelfs een "wetenschappelijk tijdschrift" opgericht: http://en.wikipedia.org/wiki/Educational_Studies_in_Mathematics

Misschien was dat tijdschrift wetenschappelijk en alleen de praktische invoering niet, zodat het dogma alleen op de praktijk betrekking had en niet op het vrije wetenschappelijk denken ?

Of is Jan Karel Lenstra de zoveelste abstract denkende wiskundige die niet met de empirie kan omgaan ? Die echt denkt dat alleen de prakijk een dogma was maar dat in dit tijdschrift nette wetenschap werd cq wordt bedreven ?

Die "realistische wiskunde" heeft ook internationaal school gemaakt, maar dat hebben abstracte wiskunde, homeopathie en astrologie ook. Wanneer ergens in de wereld een parlement wil dat het onderwijs in wiskunde en rekenen beter wordt, dan wendt men zich tot wiskundigen, en vergeet dan dat dit tot abstractie opgeleide mensen zijn die maar moeilijk kunnen omgaan met de empirie. Er zit een systeem in de voortdurende ellende.

Zeg niet dat het niet zo is, lees eerst bijv. Elegance with Substance en Conquest of the Plane.

Bij Diederik Stapel was dwangmatige opzet in het spel, bij Freudenthal vermoedt menigeen alleen het "hoofd in de wolken". Maar die exegese is nog niet afgerond. Er zijn punten die vragen oproepen, zoals het autoritaire gedrag van Freudenthal en diens incorrecte behandeling van het werk van Pierre van Hiele. De term "realisme" verwijst naar Van Hiele's nulde niveau - en zo kon Freudenthal doen alsof hij zelf iets nieuws had. Zie verder punt 7 in de Appendix.

Met Freudenthal kwam er de industrie van "didactiek" op afstand van onderwijs en empirie. In Utrecht is er nu het "Freudenthal Hoofd in de Wolken Realistische Wiskunde Instituut" dat waanzin na waanzin de wereld inslingert.

De wiskundigen in Nederland zijn niet in staat gebleken tot een zinvolle correctie want zij weten niet goed wat het is om empirische eisen te stellen. Wiskundestudenten halen zij wel uit het buitenland. Het blijkt dat sommigen de situatie ook benutten om hun (machts-) positie te misbruiken, want ijdelheid is ook wiskundigen niet vreemd. De Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren (NVvW) is inmiddels een ernstig zieke vereniging gebleken. Zie mijn brief aan Regering en Parlement.

Sinds 2009 bezeten door Lucifer

"Geen extremen," roept Lucifer. Hij verwijst naar de dogmatiek van Euclides van 300 voor Christus, de "New Math" na de Sputnik in 1957, en de "realistische" wiskunde van Freudenthal na 1970. Zo moet het niet, stelt Lucifer, ook al weet hij niet waarom. Wanneer je het "extreem" noemt zal het wel eng zijn, en dus gebruikt hij dat woord. Manhaftig stuurt hij een "gematigde" koers. Maar zonder enig inzicht, want hij heeft geen studie gedaan van de didactiek der wiskunde. Hij weet blijkbaar wel hoe hij iedereen een beetje rustig kan houden, zoals wiskundigen dat onderling gewend zijn, met gevoel voor abstractie en zo nodig blind ellebogenwerk. Maar de empirie, ja, die laat zich niet bedwingen, doch die negeert hij dan.

Onze Lucifer klaagde dat Nederland "wereldkampioen niet-nascholen" is. Dit is bizar. Het "Freudenthal Hoofd in de Wolken Realistische Wiskunde Instituut" stort voortdurend ellende over het wiskunde-onderwijs uit waardoor leraren wiskunde het almaar lastiger krijgen (zoals het niet-rekenen op het PO), en vervolgens zouden zij ook nog op nascholing gestuurd moeten worden ! Laat Lucifer er dan ook maar bijzeggen dat er geen evidence based programma's voor die nascholing zijn, dan weet de wereld meteen dat hij maar wat loopt te zeggen.

Hier wreekt zich ook dat sommige wiskundigen "hoogleraar" genoemd worden. Veel mensen denken, en vooral ook zijzelf, dat hoogleraren wel heel hoog en kundig zijn in het leraarschap. Hoe zij dat "hoge"-leraarschap toetsen is nauwelijks een vraagstuk. Wie slaagt voor het tentamen of een goed proefschrift schrijft is een bewijs van geslaagd onderwijs en onderzoek, en de anderen jagen zij weg als ongeschikt. In het panel van 30 juni 2014 zaten wel "hoogleraren" maar geen leraren of onderwijzers die de luxe van het wegjagen ontberen. In deze hel mochten de slagers hun eigen vlees niet keuren omdat de duivels dat voor hen deden.

Jan van der Craats - engel of ook duivel ?

Een opmerkelijk wiskundige is Jan van der Craats (emeritus) die zich tegen het "realistisch rekenen" van het "Freudenthal Hoofd in de Wolken Realistische Wiskunde Instituut" verzette. Hij bepleit dat kinderen tenminste een werkende strategie voor kale sommen leren. Met zijn voorbeeld van de staartdeling joeg hij het Utrechts duivelsgebroed existentiŽle angst aan. Deze wikipedia pagina geeft een aardig beeld.

Het probleem voor Van der Craats is niet opgelost zolang de bestaande onderwijzers aan het PO ongemoeid blijven. Naast zijn oorspronkelijk probleem t.a.v. het PO heeft de overheid immers onder begeleidend gezang door duivel Lenstra een circus van rekentoetsen voor leerlingen ontworpen, waar Van der Craats op zijn beurt weer van is geschrokken. Voor dat circus: zie bijv. zo'n SBO-cursus van EUR 700 p.p. per dag waarin "1000 mensen zijn u voorgegaan".

Van der Craats roept iedereen op de voorbeeldsommen te maken die CITO voor onze leerlingen gemaakt heeft, en daarna te kijken naar zijn kritiek. En dit is nog slechts F en nog geen S.

We kunnen vaststellen dat Lucifer die voorbeeldsommen blijkbaar nog niet gemaakt heeft, in ieder geval geen kritiek op zijn website heeft geplaatst. Het is empirie, niet aan hem besteed. Hij vult zijn drie dagen van de week met zinvoller zaken - zinvol althans gezien vanuit de doelen van de hel.

Drie denkrichtingen over onderwijs in wiskunde en rekenen

Laat ik opmerken dat er in Nederland ten minste drie richtingen zijn ten aanzien van het onderwijs in wiskunde en rekenen:

  1. De dienaren van de hel:
    1. Het "Freudenthal Hoofd in de Wolken Realistische Wiskunde Instituut" te Utrecht met de "realistische wiskunde"
    2. Lucifer in de gedaante van professor Lenstra die doet alsof hij boven de partijen staat maar niet weet wat dat betekent
  2. Van der Craats c.s. die hechten aan "ouwerwetse" wiskundige degelijkheid maar die nog gevangen zitten in het probleem dat wiskundigen niet worden opgeleid voor empirie
  3. Schrijver dezes, die benadrukt dat didactiek een empirische studie is, juist ook voor wiskunde i.h.a..

Daarnaast zijn er natuurlijk andere invalshoeken, maar bovenstaande driedeling moge verhelderend zijn voor de analytische positie, in ieder geval van auteur dezes.

Laat ik hierbij opmerken dat ik mij nauwelijks in het rekenonderwijs heb verdiept, en bijv. zeker nog niet in het proefschrft van Marian Hickendorff over statistische toetsen. Bijv. ben ik wel bekend met de (Rasch - Elo) Item Response Theorie (IRT) dat in de psychometrie veel gebruikt wordt (zie hoofdstuk 7 van mijn boek Voting Theory for Democracy (2001, 2014)), maar ik heb niet de indruk dat de lezer erop zit te wachten dat ik zulke IRT ga gebruiken ter controle van berekeningen: want de eerste vraag betreft toch vooral de validiteit.

Mijn analyse omtrent het onderwijs in wiskunde is vooral op andere aspecten dan rekenen gericht, zie immers Elegance with Substance (2009). T.a.v. het rekenen heb ik wel de punten van het gebruik van tig naast tien, en de behandeling van breuken. Die punten zijn belangrijk voor het rekenen maar ik acht ze minder relevant ten opzichte van de primaire conclusie dat er een parlementair onderzoek naar het echte probleem van het falen van het onderwijs naar wiskunde en rekenen kome: dat leraren wiskunde ten principale niet zijn opgeleid tot empirisch onderzoek in didactiek.

BeŽlzebub en Baal

In de hel van 30 juni 2014 traden ook BeŽlzebub en Baal aan. Gastheer was de sectie Wiskunde van de KNAW met BeŽlzebub in de persoon van voorzitter Henk Broer (dynamica, maar niet in PO-VO) en Baal in de persoon van secretaris Jan Bergstra (informatica, maar niet in PO-VO). Dagvoorzitter was duivelsknecht Albert Visser (logica, maar niet in PO-VO, en sowieso verdwaald, zie mjin boek A Logic of Exceptions (1981, 2007)).

De KNAW had wiskundigen Bas Edixhoven (meetkunde maar niet in PO-VO m.u.v. WIMS) en Vincent van Oostrom (formele methoden maar niet in PO-VO, en collega-"logicus" van Albert Visser) gevraagd hun gedachten over het onderwerp van de thema-bijeenkomst te geven. Moeiteloos legden deze duivelsknechten hun publiek op pijnbank. Zij hadden zich daartoe niet in het rekenonderwijs verdiept, maar grepen uit hun eigen werk naar punten die zij wel wat bij het thema vonden passen. Zoals Kamagurka zijn commentaar op de actualiteit geeft maakten deze duivelsknechten er een totaal-absurd theater van, want zij sloegen ook nog eens de plank mis, als een dokter die een appendix via de neus probeert te verwijderen maar per ongeluk bezig is met de linker voet.

Van Oostrom loog dat leerlingen nooit over algorithmen hadden nagedacht. Iedere leraar wiskunde moet de leerlingen uitleggen dat de volgorde "Meneer Van Dalen wacht op antwoord" niet geldt voor sommige rekenmachines die gewoon van links naar rechts werken, en dat het dus veilig is om haakjes te gebruiken. Misschien zijn leerlingen dit vergeten wanneer zij zich bij Van Oostrom aanmelden, maar duivelsmaat Vincent is dit dan ook zelf vergeten of heeft er geen belangstelling voor hoe er in de leslokalen gerekend wordt.

De Duivel z'n Moer

Van het "Freudenthal Hoofd in de Wolken Realistische Wiskunde Instituut" was de Duivel z'n Moer aanwezig om het publiek stroop om de mond te smeren, in te pakken, een loer te draaien en bidprentjes te verkopen. In ieder geval was het prijsschieten voor Marja van den Heuvel - Panhuizen (iets vaags bij het Freudenthal Instituut, men noemt het daar "hoogleraar reken- en wiskundedidactiek").

Hier laat zich andermaal de diabolische opzet van onze Lucifer vermoeden. Met de wereldvreemde egotripperij van Edixhoven en Van Oostrom kon Marja van den Heuvel - Panhuizen zich als "realistisch" en als "onderwijskundige" profileren. Het publiek werd meegevoerd in haar opgetoverde aura van redelijkheid, en vervolgens werd ditzelfde publiek in donkere krochten de laatste resten van kritisch denken ontnomen.

Psychometrie versus didactiek

Marian Hickendorff (geen hoogleraar, cum laude gepromoveerd in psychometrie en expliciet stellend dat zij niet heeft doorgeleerd voor didactiek van wiskunde) presenteerde behoedzaam een studie die toch enige kennis van didactiek van wiskunde zou noodzaken, althans wanneer je uitspraken over validiteit wilt doen. Meet een contextvraag nu begrijpend lezen of wis- of rekenkundig inzicht ? In welke mate van complexiteit ? Hoe verhouden resultaten zich met de gebruikte didactiek (bijv. ook mate van oefenen) cq. doelstellingen van didactiek (kennis, vaardigheden, attitude) ? Is het voldoende wanneer een psychometrisch duivelin samenwerkt met een "didacticus" van het "Freudenthal Hoofd in de Wolken Realistische Wiskunde Instituut" of iemand daarmee verwant bij het CITO, of dient de keuze voor didactisch inzicht niet zorgvuldig in empirie te zijn gestoeld ?

Op grond van anonieme steekproeven uit CITO-materiaal zou de conclusie volgen dat het voor toetsvragen in het PO niet zou uitmaken of men wel of geen context gebruikt. De rekenboekjes lieten toe te kijken hoe leerlingen te werk gingen: cijferend, niet cijferend of blijkbaar alles uit het hoofd. Een prestatiedaling van 1997 naar 2004 kwam vooral door toenemend hoofdrekenen. Het expliciet aan leerlingen vragen om toch vooral papier te gebruiken zou al veel helpen. Ik krijg de indruk dat hier niet veel verschil is met een betoog uit 2011. (Merk op dat bij de CITO-toets in het PO geen rekenmachine maar bij contextvragen in het VO juist wel een rekenmachine mag worden gebruikt.) Hickendorff's stelling staat tamelijk haaks op Van der Craats pleidooi voor minstens ook kale sommen voor zijn werkbare strategieën zoals de staartdeling. Een deel van de overeenstemming ligt natuurlijk in de lagere prestatie t.o.v. Aziatische topscorers. Wanneer je dingen niet goed kunt, dan geldt dat zowel voor kale als aangeklede sommen. Een ander deel kan liggen in de complexiteit van contextvragen. Hoe nieuw / geoefend waren de toetsen in 1997 en hoe vergelijkbaar in 2004 ? Hoeveel tijd wint een leerling met het doen van kale sommen met werkende strategieŽn en hoeveel houdt deze dus over om over contexten na te denken ? Hiervoor zou ik in Hickendorff's studie moeten duiken, maar ik heb al uitgelegd dat dit wat mij betreft nu niet aan de orde is. Empirie is niet alleen tellen maar ook waarnemen.

(Wat ik overigens ook als didactisch doel zou willen noemen is dat leerlingen zich ook competent en zeker van de zaak gaan voelen (als ze daar reden toe hebben). Dit is een deel van Van der Craats's visie op de staartdeling: wanneer de leerling die voor 100% beheerst dan geeft dat een competentie. Voor een toets bestaat dus de vraag: Hoe zeker is de leerling van het resultaat ? Mij is onduidelijk of hier al naar gekeken is. Als leraar krijg je wel een beeld van hoe zeker leerlingen zich van iets voelen maar het toetsen daarop is een andere kwestie.)

(Een onderwijzer van de basisschool zou kunnen opmerken dat er tegenwoordig steeds meer aandacht voor taal en rekenen komt, ten nadele van geschiedenis en muziek. Dus ook de tijdsbesteding moet meegenomen worden, en de resultaten op de andere vakken, waarbij het meten van algemene vorming natuurlijk lastig is.)

Ahriman

Ahriman wendde zich tot ons in het vol ornaat van Han van der Maas (psychologische methoden, en ontwikkelaar van leermiddelen voor PO-VO).

De Deen Georg Rasch ontwikkelde rond 1960 een model voor leesvaardigheden van kinderen, dat rekening houdt met capaciteiten van leerlingen en de moeilijkheid van de test. De Amerikaan Arpad Elo ontwikkelde ook zo'n model voor schakers die tegen elkaar strijden. Het bleek hetzelfde model. Het model leert aan de hand van steeds nieuwe testresultaten. Wat is logischer dan dit model (en verbeteringen) te gebruiken voor ons onderwerp ? Het is de Item Response Theory (IRT) waar boven al gewag van werd gemaakt. Van der Maas heeft vanuit de UvA de spin-off Oefenweb.nl opgezet, en voor rekenen de Rekentuin.nl. Het is lofwaardig en ziet er mooi uit.

Edoch, enkele kritische vragen tonen ons de duivelse kant van onze Ahriman. De spin-off moet zichzelf commercieel draaiend houden. Van der Maas stelt dat dit nuttig is omdat hij en zijn medewerkers nu goed naar de klanten luisteren. Het blijft verbazingwekkend dat wetenschappers dit niet zelfstandig doen. (Op zich is dit ook weer een IRT situatie, van capaciteit tot luisteren en uitdaging daartoe.) Liever zou men zien dat een universiteit deze software als open source ter beschikking stelt aan scholen, zodat duidelijk is dat de werkelijke kosten zitten in adequate didactiek en niet in techniek. De overheid heeft een parlementair onderzoek naar falende ICT maar een nog groter falen is hier het niet-gebruiken van ICT - zie bijv. mijn advies tot het gebruik van computer-algebra.

Hoe dan ook, in de hel van 30 juni 2014 toonde Van der Maas het publiek een demo met leuke sommetjes in plaats van de kale sommen met werkbare strategieën zoals de staartdeling. Terwijl Van der Craats juist de didactische waarde van de staartdeling e.d. onderstreepte noemde Van der Maas die bewerkingen saai en weinig wervend. Een lerares wiskunde uit het publiek, inmiddels des duivels getergd, gaf aan dat in toelatingstoetsen voor de overgang van VO naar Hoger Onderwijs (HO) juist ook zulke saaie vragen worden gesteld. Kortom, de zaal kreeg niet te zien waarvoor men gekomen was. Bloemetjes, sterretjes, puzzeltjes met getallen. Van der Maas geloofde ook niet in de visie van Van der Craats en stelde: "Wie gebruikt die staartdeling nou nog ? We gebruiken toch allemaal een rekenmachine ?" (geen letterlijk citaat) Van der Maas neemt hierbij aan dat een leerling ook weet wat die machine uitrekent. Ja, inderdaad, wanneer de klanten van de Rekentuin juist bestaan uit onderwijzers die zijn opgeleid in de filosofie van het "Freudenthal Hoofd in de Wolken Realistische Wiskunde Instituut" te Utrecht, en wanneer je naar die klanten moet luisteren, dan krijg je happen - en een beloning die bestaat uit een plaatje met bloemetjes en sterretjes in plaats van de geestelijke trots dat je iets kunt omdat je begrijpt dat je iets geleerd hebt en ook begrijpt wat je geleerd heb.

Waarom toch die bizarre uitgroei naar allerlei programmeermogelijkheden die niet ter zake doen, en waarom niet braaf inprogrammeren wat Van der Craats netjes in zijn teksten en boek heeft uitgelegd ? Waarom stoppen met nadenken alleen maar omdat je nu commercieel moet denken ? Bestaat er een weerzin vanuit psychologie tegen wiskunde ? Het kan ook zijn dat de digitale techniek hier vooralsnog de toetsmethoden beperkt, omdat sommige zaken nu gemakkelijker zijn dan herkenning van handschrift of spraak, maar de techniek neemt toe. Hoe dan ook, mijn advies is dat mensen eerst Elegance with Substance (2009) gaan lezen voordat ze verder gaan programmeren.

Toch moet gezegd worden dat onze Ahriman alleen IRT kan gebruiken en doceren dankzij enige kennis van wiskunde. Met diens achtergrond in cognitieve psychologie zou hij wellicht ook kunnen openstaan voor de didactiek der wiskunde. Ook voor hem geldt dat empirie meer is dan alleen tellen: het is ook waarnemen.

Satan himself

Ook sprak tot ons Satan, opgestegen uit een Groningse aardbeving in de gedaante van Roel Bosker (onderwijskunde, maar niet in didactiek van wiskunde, maar wel co-auteur met wiskundig statisticus Tom Snijders van een boek over multilevel analysis).

Bosker was voorzitter van de naar hem genoemde commissie die, na druk vanuit de samenleving op verzoek van Staatssecretaris Sander Dekker (bijna mijn buurman hier in Scheveningen, de cirkel is bijna rond), naar het probleem keek. De definitie van "het probleem" is ambigue: ofwel de voor het derde jaar op rij veel te hoge percentages gezakte leerlingen, ofwel dat Van der Craats stelde dat de toets niet deugde (en leerlingen denkelijk ook) (waarna je zou denken dat het dan wel meevalt, maar Van der Craats noemt het beoogde niveau dan weer te eenvoudig, want F en geen S).

Satan beklom zijn eigen hobbypaard dat bestond uit het tegengaan van ongelijkheid. De referentieniveau's zijn te generiek. Een caesuur roept te snel problemen op voor ergens een of ander schooltype. Wanneer je bij het VMBO KB een fatsoenlijk slaagpercentage hebt, zou BB grotendeels zakken en TL vrijwel allemaal slagen. Generieke toetsen zijn niet goed mogelijk. Voor het MBO kun je getallen met dimensies als euro's toestaan, want dat vinden leerlingen erg prettig, en anders leren ze het eigenlijk niet. Voor het VWO worden dat contextsommen die het gebruik van de rekenmachine toestaan. Voor Satan is ongelijkheid relatief. "De fijnen zijn de mijne." Per saldo kiest Bosker voor fijnmazige toetsen, wederom als Item Response, waarin capaciteiten en uitdagingen worden gematched, en leerlingen in een 'flow' zijn, zonder de stress van teveel uitdaging of de verveling van te weinig daarvan. (Bij Mihaly Csikszentmihalyi verliest men daarbij ook het bewustzijn maar dat is hier niet geheel de bedoeling.)

Maar helaas, Satan en zijn hobbypaard zaten niet in de commissie Meijerink die het toetsschema ontwierp. In plaats van zijn opdracht verontwaardigd terug te geven en de Staatssecretaris aan te zeggen dat die een echte idioot moest zoeken, oordeelde Satan dat hij die rol ook zelf heel lofwaardig kon vervullen. Met zijn Commission from Hell formuleerde hij een aantal aanbevelingen hoe de rekentoets alsnog behouden kan blijven. Hiermee bewijst Satan de Staatssecretaris de grote dienst dat deze naar het Parlement kan doen alsof hij streng maar daadkrachtig beleid voert. De kritisch lezer weet inmiddels dat de juiste politieke duiding wel moet zijn dat er grotere heibel zal ontstaan wanneer de Staatssecretaris de bestaande 150000 onderwijzers in het PO gaat aanpakken, en dat het gemakkelijker is de hel vergroten voor 4000 leraren wiskunde en hun leerlingen VO en nieuwe leraren PO-VO.

Opvallend genoeg had Jan van der Craats zitting in deze Commission from Hell. De eerdere vraag of hij engel of duivel was blijft evenwel op logische gronden onbeslist. Hij moet een Macchiavelli of duivelskunstenaar zijn. Of hij schept er een duivels genoegen in dat wij nu allemaal die vermaledijde voorbeeldtoetsen F2 en F3 van CITO gaan zitten maken. Of hij wacht tot de hel bevriest en de staartdeling weer wordt ingevoerd, en zijn kwelduivels met hun gedeelde staarten kunnen afdruipen.

Ter afronding

De thema-bijeenkomst bij de KNAW over het rekenen van 30 juni 2014 deugt niet. Het was vooral een vlag die een andere lading moet dekken. Mogelijk was het goedbedoeld, maar dan hoogst onprofessioneel, en er schuilt een systeem in het gebrek aan zelfkritiek.

  • De KNAW kan stellen dat ze er weer aandacht aan hebben besteed.
  • De actoren hebben wat gezegd, het publiek heeft vragen kunnen stellen. Poppetje gezien, kastje dicht.
  •  Wat klaagt u, we zijn er toch mee bezig ? Professor Lenstra wel drie dagen per week.

Per saldo zagen we hier ellebogenwerk van een coterie van verdwaalde wiskundigen. Abstract denken en gebrek aan empirisch onderzoek. Abstracte kennis van statistische theorie maar statistiek niet kunnen relateren aan de empirische didactiek. "Didactische" adviseurs van het "Freudenthal Hoofd in de Wolken Realistische Wiskunde Instituut" uit Utrecht. Een instituut dat veel kenmerken van een secte vertoont: Een bij leven charismatische maar intolerant-dwingende stichter, een ideologie, een zich afsluiten voor empirie en kritiek, een verkopen van een product. En heel pijnlijk: het stellen van die ideologie boven de didactische behoeften van de leerlingen om wie men zegt dat het gaat. Nota bene over wiskunde, dat zo belangrijk is voor persoonlijke ontwikkeling en de stand van de beschaving. (Wiskunde dient men hierbij op te vatten als gedragen door een gebalanceerde persoonlijkheid, niet de stoornis waarmee iemand mogelijkerwijs "hoogleraar wiskunde" kan worden.)

Hier is een advies en ipetitie tot een parlementair onderzoek naar het onderwijs in wiskunde.

In de Appendix plaats ik nog enkele aanvullende opmerkingen. Opmerking 7 is voor degenen die vragen hebben over de aanduiding "Freudenthal Hoofd in de Wolken Realistische Wiskunde Instituut".

PS. Voor de woordkeus bij de beschrijving van de hel dank ik science fiction schrijver Acapulco Jones.

PPS. T.a.v. mogelijke belangenverstrengeling meld ik dat ik ook auteur ben van De eenvoudige wiskunde van Jezus (2012).

PPPS. Het boek De Telduivel van Hans Magnus Enzensberger is een boek waar ik zelf niet doorkom. Zogenaamd leuk en toegankelijk gemaakt rekenen, en voor sommigen is dat misschien ook echt leuk, maar bij mij komt het hapsnap over, en het verhaaltje van jongetje en duivel voegt niets toe. In een roman word je geacht je te identificeren met de hoofdpersoon, maar dat gebeurt ook niet. Ik noem het boek nu niet alleen omdat de duivel weer ter sprake komt, maar juist als voorbeeld van falend onderwijs (internationaal) waardoor mensen van gekkigheid dit soort boeken gaan schrijven. "Een hoofdkussenboek voor iedereen die bang voor wiskunde is," luidt de wervende tekst. Maar wanneer wiskunde leuk is, waarom dan niet op school ?

"De Telduivel" van Enzensberger

Appendix

(1) T.b.v. het rekenonderwijs op de basisschool stel ik voor naast tien ook tig als eenheid te gebruiken.

(2) Bij breuken schrijft men momenteel voor "twee-en-een-half" vaak 2½ maar dit leest als "twee-maal-een-half". Met in boeken afgedrukte breuken valt het te leren, maar in handgeschreven situaties kan het fout gaan. Ik heb inderdaad gezien dat een leerling in 4e klas VWO wiskunde B als volgt deed: bij het uitwerken van een langere som in een proefwerk schreef hij als 2 1/2, daarna was hij bezig met iets anders, vervolgens keerde hij terug naar het antwoord en concludeerde 2 1/2 = 1. Beter is 2 + 1/2 te schrijven, en met "Fin" aan te geven dat je meent dat het niet verder is te vereenvoudigen (als dat het vraagstuk is). Van der Craats kiest vaak veiligheidshalve voor 5/2 maar het is toch prettig om geheel en breukdeel af te zonderen.

Zo zijn er vele andere problemen in het huidige pakket voor wiskunde.

(3) Een bespreking in het Nederlands is het boek Een kind wil aardige en geen gemene getallen.

Hiervan is nog geen recensie verschenen omdat mijn boeken sinds medio 2012 door de redactie van het "wiskunde-onderwijs-tijdschrift" Euclides geboycot worden. (Ik ben zelf voor een boycot van Nederland, maar natuurlijk niet t.a.v. meningsuiting en de stroom van informatie.) Bij KNAW-LOWI heb ik de kwestie van een lasterlijke "recensie" in Euclides aangekaart maar dit heeft geen zin gehad.

(4) Mijn voorstel is in het onderwijs computer-algebra te gebruiken. Dit sluit aan bij het programmeren. Vanzelfsprekend moeten leerlingen wel leren hoofdrekenen. Toetsjes op gezette tijden zijn dan prettig. Maar het maakt verschil wanneer wiskunde plotseling inzichtelijk wordt in plaats van krom. Ik verwijs hier ook aan mijn boeken Elegance with Substance (2009) en Conquest of the Plane (2011). Vanzelfsprekend alles netjes ingebed in empirisch voorwerk door gedegen onderwijs-ingenieurs.

Hier staan reacties van Nederlandse wiskundigen, en hier is de positief getoonzette boekbespreking door Richard Gill (Leiden, KNAW).

(5) Met Jan Bergstra heb ik een wat mij betreft nog niet afgeronde gedachtenwisseling over het delen door nul. Zie diens meadow en mijn aanpak voor de afgeleide (niet met meadow als het niet nodig is).

(6) Albert Visser (dagvoorzitter) mishandelde mijn analyse over de leugenaarsparadox toen ik nog student econometrie in Groningen was, rond 1981. Zie nu het boek A Logic of Exceptions (1981, 2007). Die nieuwe versie wil hij niet lezen ook al maakt de computeralgebra het werken in driewaardige logica makkelijker. Zie ook mijn tekst over Wanneer Nederland net een beetje aardiger en competenter was.

Het is een groot raadsel waarom logica niet wordt onderwezen op de basisschool. Het zou voor de kinderen zo verhelderend zijn. Maar ook hier is natuurlijk empirisch onderzoek vereist.

PM. Auteurs Wolberink & Ridderbos t.b.v. cTWO (secretariaat bij het "Freudenthal Hoofd in de Wolken Realistische Wiskunde Instituut") kiezen voor waarheidstafels de Poolse aanpak met de volgorde onwaar (0) en waar (1). De "redenering" zal zijn dat 0 < 1. De aanpak blijft onlogisch, want logica richt zich op waarheid (en cTWO en het "Freudenthal Hoofd in de Wolken Realistische Wiskunde Instituut" richten zich mogelijk inderdaad op onwaarheid). In het Westen (Frege, Pierce, SchrŲder, Wittgenstein) is de traditie ontstaan van de volgorde waar (1) en onwaar (0). Leerlingen worden weer danig in de wielen gereden wanneer ze willen vergelijken met niet-Poolse teksten. Zie wikipedia over de waarheidstafel, en ook de aardige "discussie".

(7) Pierre van Hiele vond dat leerlingen op de basisschool best met vectoren konden rekenen. Maar Hans Freudenthal heeft Van Hiele op incorrecte wijze dwars gezeten. Freudenthal was een abstract denkende wiskundige die een "realiteit" en "realistische wiskunde" verzon maar die geen empirisch onderzoek deed. Toen Freudenthal aan het eind van zijn wiskundige carriere kwam, schrijft hij, kon hij kiezen tussen "geschiedenis van de wiskunde" of "didactiek van wiskunde". Hij koos het laatste maar had beter het eerste kunnen kiezen. Het was correct geweest wanneer hij de op didactiek gepromoveerde Van Hiele tot hoogleraar didactiek had helpen maken, in plaats van zelf in diens schoenen te gaan staan. We hebben nu in Utrecht een groot "Freudenthal Hoofd in de Wolken Realistische Wiskunde Instituut" met een verzonnen "realiteit", en onderwijs dat een affront is voor wiskunde en dat kinderen kwelt. Het is een grove schande dat het "Freudenthal Instituut" mijn werk en kritiek negeert, maar dat geldt voor het Platform Wiskunde Nederland in het algemeen, en ook voor de auteurs van dit rapport naar onderzoek naar didactiek in wiskunde uit maart 2014, die voorbijgaan aan Elegance with Substance (2009) (dat nog wel in Euclides is besproken).

Voor enige informatie over het autoritaire gedrag van Freudenthal en de teleurstelling bij Pierre van Hiele verwijs ik naar deze twee artikelen in Nieuw Archief voor Wiskunde: Freudenthal en Van Hiele.

NB. Eerder gebruikte ik de aanduiding "Diederik Stapel Instituut". Een medewerker van het Freudenthal Instituut zei me ooit zich beledigd te voelen. Mijn antwoord uit 2012 is:

QUOTE 2012

De zin is "Stapel verzon data, Freudenthal een hele realiteit". Iedereen weet dan het verschil. Het is flauw om dan te moeten uitleggen wat het verschil is. Als ik een geval zou kennen dat er bij het FI data zijn verzonnen dan had ik daar melding van gemaakt. Misschien helpt het dat ik nog eens expliciet zeg dat mij niet zo'n geval bekend is.

Wel deel ik de waarneming van Ben Wilbrink: "De KNAW-commissie onder voorzitterschap van Lenstra (2009) vindt geen noemenswaardig empirisch toetsend onderzoek door het Freudenthal-Instituut, dus over de voorgaande twee decennia."
http://www.benwilbrink.nl/projecten/geen_empirisch_onderzoek.htm

Wanneer je een beter analogon hebt om aan anderen duidelijk te maken dat Freudenthal een abstract denkend wiskundige was die de didactiek in wiskunde en rekenen zo op een verkeerd fundament heeft proberen te bouwen dan houd ik me aanbevolen.

UNQUOTE

Diederik Stapel pleegde valsheid in geschrifte door het scheppen van "data". Hans Freudenthal deed dat niet want had een hekel aan statistiek, en sprong meteen naar de conclusie, waarvoor hij zijn persoonlijke intuïtie gebruikte. Blijkbaar werd dat de werkwijze van zijn instituut. Het is incorrect wanneer je de indruk wekt alsof er een resultaat is van de empirische cyclus.

Evenwel, ik heb van meer kanten reacties gekregen dat de aanduiding "Diederik Stapel Instituut" voor hen de verkeerde associaties wekt, alsof men daar in Utrecht ook vragenlijsten zit te vervalsen, en de smarties opeet die eigenlijk bedoeld waren voor de kinderen die die lijsten moesten invullen. Zulke associaties zijn niet communicatief, en daarom gebruik ik nu de aanduiding "Freudenthal Hoofd in de Wolken Realistische Wiskunde Instituut" (FHWRWI).

Laat ik benadrukken dat het nog steeds wetenschappelijk wangedrag blijft: de indruk wekken alsof iets het resultaat is van de empirische cyclus. De maatschappij heeft blijkbaar een grote tolerantie voor wiskundigen die met hun hoofd in de wolken zitten, zoals ook Jan Karel Lenstra met zijn rapport uit 2009 en deze KNAW thema-bijeenkomst in 2014, maar het blijft wetenschappelijk wangedrag.

(8) Zie de Item Response Theory (Rasch - Elo) bijv. in Voting Theory for Democracy hoofdstuk 7. Zie hier hoe abstract denkende wiskundigen mijn empirische analyse over democratie mishandelen, en hoe ook Kennislink.nl al jaren leerlingen misleidt dat "democratie niet helemaal eerlijk" kan zijn, en hoe de redactie aldaar meer waarde hecht aan de morele waanzin van een gepromoveerd abstract wiskundige dan aan de nuchtere opmerkingen van een bescheiden econometrist en leraar wiskunde. 

(9) Middelen voor het onderwijs komen natuurlijk ook vrij wanneer de werkloosheid is aangepakt. Zie mijn advies tot een boycot van Nederland tot de censuur van de wetenschap sinds 1990 door de directie van het Centraal Planbureau is opgelost.

(10) T.a.v. het VMBO hoort men soms zeggen dat leraren vooral orde houden en niet aan lesgeven toekomen. Wellicht komen rekenproblemen in het onderwijs ook door zulke zaken. Of dat zo is, weet ik niet. Auteur Yezkilim (pseudoniem) heeft een "nultolerantieschool" voorgesteld met extra klassenassistenten die de orde bewaken. (Ik neem geen directe link op wegens een mogelijk scabreuse prent.) Mogelijk zijn zulke klassenassistenten sowieso nuttig voor beginnende leraren (zoals ook zij-instromers), gezien de personele verspilling die daar kan plaatsvinden. Wellicht kunnen een paar steden hiermee experimenteren ?

(11) Ik ben een groot voorstander van de "Academische School", waar praktijk en onderzoek samengaan zoals er ook Academische Ziekenhuizen zijn.