Pas op met wiskunde over verkiezingenThomas Colignatus14 & 18 & 27 Februari, April 29 2013 Samenvatting Sommige wiskundigen beweren dat democratie onmogelijk zou zijn. Kenneth Arrow presenteerde in 1951 een aantal axioma’s die hij "redelijk" en "moreel wenselijk" noemde. Vervolgens leidde hij een tegenspraak af. We moeten dus onredelijk of moreel onwenselijk bezig zijn om "democratische" besluiten te kunnen nemen ? Het blijkt dat die wiskundigen geen studie maken van de werkelijkheid en feitelijke democratie. Met hun verkeerde modellen en tendentieuze beweringen dragen ze bij tot een klimaat van cynisme, waarin ook de overheid geneigd kan zijn om de democratie te verminderen. Het is wetenschappelijk ongepast wanneer wiskundigen niet luisteren wanneer je ze attent maakt op hun denkfouten. Inleiding Wiskunde gaat over zekerheid, over "wis en waarachtig". De wiskundige zekerheid is vooral gebaseerd op een strakke redenering van begin naar einde, waarbij iedereen kan controleren dat de redenering inderdaad klopt. Wanneer je redeneert vanuit een waarheid dan is het resultaat ook waar. Sommige uitgangspunten zijn maar veronderstellingen, die waar of onwaar kunnen zijn. Uitgangspunten die eeuwig waar geacht worden, worden axioma’s genoemd. Bijvoorbeeld is een axioma van Euclides dat door twee punten altijd een rechte lijn gaat, en dat lijkt inderdaad een eeuwige waarheid. Later werd de niet-Euclidische meetkunde ontdekt die vanuit andere axioma’s uitgaat. Het principe blijft dat wiskunde uitgaat van zaken die als zeker worden aangenomen. Het zou heel vreemd zijn om als axioma te hanteren dat het aantal lijnen door twee punten wordt bepaald door het aantal ogen van een dobbelsteen, willekeurig opnieuw geworpen wanneer het ter sprake komt. Wanneer je wiskunde op verkiezingen gaat toepassen dan moet je oppassen. Hier kunnen uitkomsten wel van het toeval afhangen. We bekijken eerst een situatie met twee kiezers, dan een situatie met drie kiezers, en komen dan tot enkele algemene opmerkingen. Een situatie met twee kiezers We hebben twee kiezers, Jan en Noor, die moeten besluiten of ze naar de film gaan of thuisblijven. Jan wil naar de film en Noor wil thuisblijven. Er is een 50% - 50% tegenstelling. Een patstelling. Ze komen er niet uit. Uiteindelijk gooien ze een munt op. Kruis is film, munt is thuisblijven. Oei, de munt blijft op de rand staan. Ze gooien nog eens. Gelukkig, er is besluit ! De uitkomst van het beslissingsproces hangt van het toeval af. De dag daarna onder dezelfde omstandigheden kan er toch een andere uitkomst zijn. Wiskundig willen we echter zekerheid zien. We komen tot deze wiskundige stelling: Bij twee personen is democratie onmogelijk (want niet onder alle omstandigheden is er een uitkomst te vinden die zich laat berekenen). Een situatie met drie kiezers We hebben drie kiezers, Jan, Noor en Flip, die moeten besluiten of ze naar de film gaan of thuisblijven of pizza te gaan eten. Met het symbool A ~ B geven we aan dat optie A even goed wordt gevonden als optie B. Met het symbool A > B geven we aan dat optie A beter wordt gevonden dan optie B. Een ordening met ~ en > wordt een voorkeursordening genoemd. Onze kiezers hebben de volgende voorkeursordeningen per individu: Flip (heeft graag iets te eten bij de hand): pizza > thuis > film Noor (wil geld uitsparen): thuis > film > pizza
Jan, Noor en Flip komen tot de ontdekking dat ze in een patstelling zijn geraakt. Hun eigen voorkeuren zijn teveel tegengesteld om er via zulk stemmen uit te komen. Het is als de bovenstaande 50% - 50% tegenstelling, maar dan iets moeilijker te zien omdat hier drie kiezers en drie mogelijkheden zijn. Ze gooien een dobbelsteen. Uitkomsten 1 en 2 zijn voor de film, 3 en 4 zijn voor thuisblijven en 5 en 6 voor pizza. Gelukkig blijft de dobbelsteen niet op zijn kant staan, en ze hebben direct een uitkomst. We moeten een onderscheid maken tussen een stemuitslag en een beslissing. Voor de stemuitslagen geldt in bovenstaand voorbeeld per paar steeds 2/3 meerderheid, maar voor alle opties tesamen geldt een onverschilligheid of indifferentie of patstelling: film ~ pizza ~ thuis ~ film, zodat er hier nog geen groepsbesluit bestaat. De uitkomst van het beslissingsproces hangt van het toeval af. De dag daarna onder dezelfde omstandigheden kan er toch een andere uitkomst zijn. Wiskundig willen we echter zekerheid zien. We komen tot deze wiskundige stelling: Bij drie personen is democratie onmogelijk (want niet onder alle omstandigheden is er een uitkomst te vinden die zich laat berekenen). Algemene opmerkingen In 1951 presenteerde wiskundige Kenneth Arrow een wiskundige stelling en bewijs. Hij poneerde een vijftal axioma’s die voor democratie zouden moeten gelden. Heel concreet noemde hij die axioma’s zowel "redelijk" als "moreel wenselijk". Vervolgens leidde hij een tegenspraak af. Conclusie: democratie is onmogelijk. Niet onder alle omstandigheden is er een uitkomst te berekenen. Onder een dictatuur is wel altijd een keuze te vinden, namelijk volgens de voorkeur van de dictator. Een van de axioma’s van Arrow is dat de stemuitslag A > B ook echt een beslissing is. Als film > pizza > thuis > film allemaal beslissingen zijn, dan is dat kringetje onlogisch. Het tegenvoorbeeld hierboven is al een bewijs voor de stelling van de Arrow dat er met zijn axioma’s niet onder alle omstandigheden een consistente keuze mogelijk is. Arrow presenteerde aldus de stelling dat democratie onmogelijk zou zijn. Hoe slaagde hij erin die stelling te bewijzen ? Door de gedachte dat axioma’s een vast resultaat moeten opleveren. Dat de uitkomst de ene dag film is, de andere dag pizza, en weer een andere dag thuisblijven, komt in de denkwereld van Arrow niet voor. Ook past niet in zijn denkwereld dat er verschil is tussen stemuitslagen en beslissingen, en dat patstellingen doorbroken kunnen worden met andere middelen dan alleen stemuitslagen. Toch is het in democratieën gebruikelijk dat patstellingen voorkomen en op een aanvaardbaar geachte manier worden opgelost. Soms blijft de bestaande situatie (status quo) gehandhaafd. Soms beslist de voorzitter. Soms wordt er opnieuw gestemd. Soms gaan mensen heronderhandelen. Conclusie: Arrow beweerde dat democratie onmogelijk was, maar eigenlijk maakte hij een verkeerd model van democratie. Ja, als je een model maakt van iets dat onmogelijk is, dan kun je allicht bewijzen dat het onmogelijk is ! Een grote verwarring sinds 1951 Sinds 1951 heeft de stelling van Arrow geleid tot grote verwarring. De voorzitter van de Amerikaanse vereniging van economen sprak zijn voorkeur uit voor een dictatuur. Bij de overheid werken nogal wat economen, politicologen en bestuurskundigen die laatdunkend doen over democratie en die hun houding onderbouwen met verwijzing naar de stelling van Arrow. In 1972 kreeg Arrow de Nobelprijs economie, zowel voor deze stelling als voor het vele andere (belangrijkere) werk dat hij heeft gedaan. In het voetspoor van Arrow zijn er ook vele andere onmogelijkheidsbewijzen geleverd, die met hun veronderstellingen aan de verwarring hebben bijgedragen. In Nederland heeft politieke partij D66 allerlei voorstellen voor "verbetering" van de democratie die echter de democratie zullen verslechteren. Een probleem in die verwarring is dat wiskundigen zich blijken te verkijken op hun formules. Ze maken geen studie van hoe democratie in de praktijk werkt maar kijken alleen naar hun model. Met bepaalde aannames komen ze tot iets onmogelijks. Vervolgens plakken ze een sticker "democratie" op hun model, en dan lijkt het alsof ze iets belangrijks hebben gevonden. Ja, als er 2/3 meerderheid voor film boven pizza is, dan is het toch democratisch dat ... Een probleem in die verwarring is dat die wiskundigen ook niet willen luisteren wanneer je ze uitlegt wat hun denkfout is. Ze zitten zo vast in hun prachtige modellen dat ze geen oog hebben voor de werkelijkheid waarop die modellen zouden moeten worden toegepast, en geen oor voor degenen die daarop wijzen. (Deze opmerking kan generaliserend overkomen maar zie de voetnoot voor de opsomming van gevallen, en er is geen uitzondering te vinden.) Zo stelt wiskundige Vincent van der Noort bijvoorbeeld op Kennislink: "In 1951 bewees ene Kenneth Arrow dat geen enkel kiessysteem helemaal eerlijk is. (Of meer precies: dat geen enkel kiessysteem tegelijk alle eigenschappen kan hebben die je van een eerlijk kiessysteem zou verwachten.)" Dit is onjuist en suggestief. Wordt "eerlijkheid" zo gedefinieerd dat het per definitie onmogelijk wordt ? Nee, het is juist andersom. Met bovenstaande inzichten valt heus wel iets te vinden wat democratisch denkende mensen aanvaardbaar kunnen vinden. Een belangrijk criterium is ook dat je wilt dat democratie bestaat, en dat is iets waar dat systeem van Arrow niet aan voldoet, zodat het niet democratisch kan zijn. Conclusie Sommige wiskundigen beweren dat democratie
onmogelijk zou zijn. Kenneth Arrow presenteerde in 1951 een aantal axioma’s
die hij "redelijk" en "moreel wenselijk" noemde. Vervolgens leidde hij
een tegenspraak af. We moeten dus onredelijk of moreel onwenselijk bezig
zijn om "democratische" besluiten te kunnen nemen ? Het blijkt dat die
wiskundigen geen studie maken van de werkelijkheid en feitelijke democratie.
Met hun verkeerde modellen en tendentieuze beweringen dragen ze bij tot
een klimaat van cynisme, waarin ook de overheid geneigd kan zijn om de
democratie te verminderen. Het is wetenschappelijk ongepast dat wiskundigen
niet luisteren wanneer je ze attent maakt op hun denkfouten.
PM. Voor bespreking
in de klas kan nog het volgende gebruikt worden. Kies bijvoorbeeld de regel
dat een patstelling ertoe leidt dat de status quo in stand blijft. Laat
A
de
status quo zijn. Stel dat bij paarsgewijs stemmen een cyclus blijkt:
A
>
B > C > A. Dan volgt de beslissing dat
A
in
stand blijft. Dit wordt weergegeven door de beslissingA
>
B
en A > C (want we gebruiken het symbool ' > ' voor voorkeuren).
Echter, we hadden eerder reeds gevonden dat A >
B
> C
>
A, zodat ook C > A. Maar, C
>
A en beslissing
A > C zijn tegenstrijdig. Je kunt dit algemeen stellen: iedere
regel om een patstelling te doorbreken is tegenstrijdig met de oorspronkelijke
situatie. Een patstelling is tegenstrijdig met dat er geen patstelling
meer is (doordat die doorbroken is). We moeten besluiten dat de cyclus
A > B > C > A geen beslissing kan zijn en geen
voorkeursorde kan aangeven. We besluiten dat dit alleen
stemresultaten
zijn, en kunnen dit weergeven met A
>>
B
>> C >> A,
waarbij x >> y symboliseert dat x conform de
eerste fase van de stemprocedure meer steun lijkt te krijgen dan y.
Bondig geformuleerd is dit het verschil tussen stemmen en beslissen.
Literatuur Colignatus is de wetenschappelijke naam van Thomas Cool, econometrist en leraar wiskunde te Scheveningen Thomas Colignatus (2002), "Zonder tijd geen moraliteit", http://thomascool.eu/Thomas/Nederlands/Wetenschap/Artikelen/ZonderTijdGeenMoraliteit-TEO-Beter.pdf Thomas Colignatus (2011), "Voting Theory for Democracy", http://thomascool.eu/Papers/VTFD/Index.html Thomas Colignatus (2012a), "Laat D66 zich opheffen", http://thomascool.eu/SvHG/LDZO/Index.html Thomas Colignatus (2012b), "Gemengde gevoelens over een discussie over stemprocedures en democratie", http://thomascool.eu/Thomas/Nederlands/Wetenschap/Artikelen/2012-03-22-VvdN-kennislink.html Thomas Colignatus (2013), "Democratie in de knel door alfa’s en beta’s", http://www.joop.nl/opinies/detail/artikel/19530_democratie_in_de_knel_door_alfas_en_betas Vincent van der Noort, (2005, 2009), "Is democratie wiskundig onmogelijk ?", http://www.kennislink.nl/publicaties/is-democratie-wiskundig-onmogelijk PM. Van der Noort verwijst naar Colignatus (2002) maar de link is gewijzigd naar wat hierboven staat. PM. Vakgebieden: Wiskunde, Economie,
Maatschappijwetenschappen
Voetnoot: Het is niet de bedoeling van dit opstel om te generaliseren. Dat zou onjuist zijn voor de wiskundigen die wel naar de werkelijkheid kijken en die open staan voor kritiek. Wanneer u zo'n wiskundige kent dan zou u hem of haar kunnen vragen om het boek "Voting Theory for Democracy" (VTFD) te lezen en mij een reactie te geven. Zo'n wiskundige die daar met een open blik naar keek ben ik nog niet tegengekomen. Er zijn wel twee gepromoveerde wiskundigen die met verwijzing naar VTFD secties 9.1 en 9.2 hebben opgemerkt de analyse "verhelderend" te vinden, maar helaas hebben ze hun reactie niet zodanig op papier gezet dat ik kan verwijzen. Voor de goede orde meld ik dat bovenstaande tekst bedoeld is om begrepen te worden door leerlingen van 4 HAVO en VWO. Het gebruik van wiskunde is hier informeler dan wellicht zelfs in de schoolboeken en beslist informeler dan natuurlijk een universitaire behandeling. Wiskundigen die het formele kader willen zien worden verwezen naar VTFD sectie 9.1 pag 235 ev., maar het is belangrijker voor hen om te kijken of zij een redenering kunnen volgen die 4 HAVO en VWO ook (moeten) kunnen begrijpen. Hier is mijn lijst van wiskundigen die omtrent het Theorema van Arrow en de analyse in VTFD niet naar de werkelijkheid kijken en die niet openstaan voor kritiek: (1) Kenneth Arrow, http://fsi.stanford.edu/people/kenneth_j_arrow
NB. Positief is: In een email van 20 februari 2013 schrijft hoogleraar wiskundige statistiek Richard Gill (Leiden, KNAW) me t.a.v. het onderscheid tussen stemmen versus beslissen: "I agree with you 100% concerning the scientific content of this discussion. The distinction you make is an important distinction. Introducing randomized decisions also means that a focus is moved from the outcome of one particular election and the long run behaviour of elections in general. It seems to me that voting theory needs to move from its silly obsessions of the early 50's, grow up, and start tackling serious problems." Hierbij geldt dat Gill nog niet VTFD heeft gelezen en alleen reageert op een gedachtenwisseling waarin ook naar dit artikel is verwezen. Hij gaat aldus nog voorbij aan het originele nieuwe inzicht in VTFD sectie 9.2 op grond waarvan we kunnen besluiten dat Arrow's analyse ofwel inconstent ofwel onvolledig is. Supplement in English, partly w.r.t. wikipedia See also my weblog entry "Wikipedia acrobatics". Wikipedia has been misleading its readers since 2006 because of scientifically unacceptable conduct of its members, and rules that allow this. Arrow claimed that his axioms were "reasonable" and "morally desirable", but when those qualifications are turned into strict form, then his analysis collapses. Namely: Reasonable means at least consistent, but his axioms are not consistent.Thus, "Arrow's Theorem" would stand as a mathematical result. But, "Arrow's analysis" with his qualifications doesn't. Thus, you may say that the axioms each individually seem reasonable and morally desirable, but combined they are not. Thus, subsequently, there is a complication on "completeness": whether Arrow's Theorem also concerns preferences on constitutions (his axioms). This is a form of self-reference. Can people have preferences on constitutions ? Yes. The analysis is complete if it covers this intended interpretation. Apparently the analysis is incomplete or inconsistent. Arrow assumes rational agents but no rational agent would accept his inconsistent axioms. See VTFD sections 9.1 and 9.2. Wikipedia February 17 2013 has: (1) Wikipedia-quote: "the Gibbard–Satterthwaite theorem still does: no system is fully strategy-free, so the informal dictum that "no voting system is perfect" still has a mathematical basis." Here is the same nonsense about "perfection" without a definition about what that would be. If there is no "perfection", are we to allow people to argue "let's accept corruption, since democracy isn't perfect anyway" ? (2) Wikipedia-quote: "Although Arrow's theorem is a mathematical result, it is often expressed in a non-mathematical way with a statement such as "No voting method is fair," "Every ranked voting method is flawed," or "The only voting method that isn't flawed is a dictatorship". These statements are simplifications of Arrow's result which are not universally considered to be true. What Arrow's theorem does state is that a deterministic preferential voting mechanism - that is, one where a preference order is the only information in a vote, and any possible set of votes gives a unique result - cannot comply with all of the conditions given above simultaneously" In itself a rather nice synopsis of the situation. Except for the point that I turned those "non-mathematical" qualifications "reasonable" and "moral desirable" into mathematics too, such that it casts doubt on the mathematical result. If you assume that Arrow's axioms would need to be complete with respect to the intended interpretation (are self-referential), then they appear incomplete or inconsistent. (3) Wikipedia-quote: "Arrow did use the term "fair" to refer to his criteria. Indeed, Pareto efficiency, as well as the demand for non-imposition, seems acceptable to most people." Arrow even used the terms "reasonable" and "morally desirable". The problem lies with IIA, or, that
I propose is better called "pairwise decision making", such that vote counts
on pairs are turned in decisions. I refer to VTFD again.
NB. The directorate
of the CPB rejected my economic analysis on unemployment and the social
welfare function also by referring to Arrow's Theorem on the impossibility
of fair social choice. In response I looked at Arrow's analysis and wrote
a paper that rejected it. However, the CPB directorate did not want to
discuss and publish my analysis on Arrow's theorem. I have looked for support
from outside mathematicians on the analysis in my paper. My position in
this discussion has been rather weak since mathematicians refused to look
into it or came up with silly remarks and did not respond adequately when
I pointed out their own errors. Resolution of this issue could be very
important for understanding my position, and the resolution of the issue
of unemployment and social welfare. Yes, economists fail here too, also
in the fact that they follow failing mathematicians. Overall, my best advice
now is to boycott Holland
till the country understands that it has to stop censoring science.
|