|
Een wereldontdekking Thomas Colignatus
KADER: In Nieuw Archief voor Wiskunde, maart 2012, p66-68, bespreekt Richard Gill (Leiden, KNAW) de boeken Elegance with Substance (2009) en Conquest of the Plane (2011) door Thomas Colignatus. Gill geeft veel aandacht aan een nieuwe aanpak van de afgeleide (infinitesimaalrekening). Zie de tekst: Op de schouders van reuzen kijken we verder. Isaac Newton (1642-1727) en Gottfried Leibniz (1646-1712) stonden op de schouders van Archimedes (287 vC – 212 vC) en ontwikkelden de infinitesimaalrekening. Bij een verandering van snelheid kan het beschouwde tijdsinterval tot nul gereduceerd worden om de versnelling op precies het moment zelf te bepalen. Newton gebruikte zijn experimentele methode om de zwaartekrachtversnelling te analyseren, maar voor de veiligheid publiceerde hij zijn hoofdwerk met behulp van de klassieke meetkunde. Bisschop Berkeley (1685-1753) dreef de spot met het delen door verdwijnende waarden - "ghosts of departed quantities" - maar kon de vooruitgang niet tegenhouden. Cauchy (1789-1857) en Weierstraß (1815-1897) schaafden het limietbegrip bij zodat nu standaard over ‘de afgeleide’ wordt gesproken. Robinson (1918-1974) ontwikkelde een niet-standaard analyse met eerherstel voor die infinitesimalen. Wij allen staan op de schouders van deze reuzen en kunnen verder kijken. In 2007 ontwikkelde ik een nieuwe algebraïsche aanpak, waarin zowel limiet als infinitesimalen overbodig blijken. Zoiets tot stand brengen is een vreemde gewaarwording, dat kan ik u verzekeren, maar lees mee, en geniet. Het probleem is dat je niet door nul kunt delen. Vroege wiskundigen leerden dit met veel schade, denkelijk zoveel schade dat het een taboe werd waarin ook Newton en Leibniz gevangen raakten. Algebra en de analytische meetkunde van Descartes (1596-1650) waren destijds blijkbaar nog te jong om als methode volledig aanvaard te worden. De klassieke methoden zijn zodoende op getallen gericht met nog weinig respect voor de eigenheid van algebra. In de algebra zijn er naast numerieke waarden ook variabelen die als zelfstandige symbolen gemanipuleerd kunnen worden. Een manipulatie als x x x = x2 doen we op de symbolen, ook al kunnen we getalswaarden aan de variabelen toekennen, met het domein van x bijvoorbeeld voor alle reële getallen en het bereik van y = f(x) = x2 dan alle niet-negatieve reële getallen. Voor de algebraïsche operatie van deling maken we nu onderscheid tussen statisch resultaat en dynamisch proces. Dit is als het verschil tussen een zelfstandig naamwoord en een werkwoord. Een statisch resultaat schrijven we als y / x, d.w.z. de deling zoals we die voorheen al kenden, die aan getallen is gebonden en die niet gedefinieerd is voor x = 0. De dynamische deling schrijven we als y // x. Bij een dynamische deling mag je een formule vereenvoudigen, zodanig dat je x2 // x = x krijgt. In dit proces zit ook een manipulatie van het domein van geldigheid. Wanneer het domein van x ook nul bevat, dan is dit opgeschort tijdens het proces van vereenvoudiging van formule, maar het domein wordt van toepassing verklaard voor de uitkomst. Nu de dynamische deling is gegeven kunnen we meteen ook de algebraïsche definitie van de afgeleide opschrijven. KADER: y // x ={neem aan dat x ≠ 0, vereenvoudig de uitdrukking y / x, verklaar het resultaat ook geldig voor x = 0 waarbij het domein uitgebreid wordt}. Deze definitie geldt voor variabelen zodat x // x = 1 maar voor getallen blijft gelden dat 4 // 0 = 4 / 0 = niet gedefinieerd. KADER: De afgeleide wordt dan gedefinieerd met het programma: f '[x] = df / dx = {∆f // ∆x, kies daarna ∆x = 0} waarin dus eerst het domein van ∆x wordt uitgebreid met 0 en vervolgens daartoe beperkt. Ergo, de definitie is niet het probleem, maar de vraag is waarom je zo’n begrip zou willen gebruiken. De nieuwe definitie van de afgeleide beschrijft wat voor het bepalen van de afgeleide van formules feitelijk gedaan wordt. Er wordt alleen exacter opgeschreven wat echt gedaan wordt. Ook in de huidige standaard aanpak wordt al vereenvoudigd, ook al wordt er daarna een limiet omheen gelegd. Bij de algebraïsche aanpak vul je de waarde nul in, bij limieten mag dat niet. Bij limieten vul je stiekem nul in bij de vereenvoudigde breuk om de limietwaarde te ontdekken maar daarna keer je snel terug naar de oorspronkelijke uitdrukking om te verklaren dat je ‘echt niet’ door nul deelt. De aanpak via limieten blijkt niet nodig. In het limietbegrip wordt gezegd dat het gaat om de waarde op dat ene punt maar feitelijk wordt de omgeving erbij betrokken, en het is mooi wanneer we dat niet hoeven te doen. Ook de rare praat over infinitesimalen als ‘oneindig kleine waarden’ die ‘naar nul verdwijnen’ wordt vermeden. (Hoe het met niet-standaard analyse zit is een apart verhaal.) De crux ligt bij de eenvoudiger notie van deling en niet bij de complexere inzichten omtrent limiet of niet-standaard analyse. Om die reden noem ik de algebraïsche definitie van de afgeleide fundamenteler. In Conquest of the Plane blijkt de aanpak te werken voor de stof die op de middelbare school wordt gebruikt. De methode vraagt algebra die reeds behandeld is. Hierdoor is een inzichtelijke methode beschikbaar die consistent, kort en krachtig is. Anders gezegd, een wereldontdekking. Wanneer leerlingen op school zeggen dat ze moeite met wiskunde hebben dan komt dat deels doordat de wiskunde inderdaad onnodig ingewikkeld en zelfs paradoxaal is. Vanzelfsprekend is het limietbegrip hierdoor niet overbodig, er zijn andere gevallen waarvoor het gebruikt kan worden. Niet uitgesloten is - of het is zelfs waarschijnlijk te noemen - dat er bepaalde functies zijn te construeren waarvoor de algebraïsche aanpak niet werkt zodat de aanpak van Weierstraß gebruikt moet worden, maar dit doen we sowieso op de universiteit. Vooralsnog adviseer ik nader onderzoek want het zou onjuist zijn het onderwijs op te zadelen met nieuwe didactiek die niet getoetst is. Voor wiskunde geldt vervolgens ‘definitie, stelling, bewijs’. De boekbespreking van Richard Gill van Conquest of the Plane volgt die denkwijze en hij geeft een nette bespreking. Niet alle wiskundigen blijken zo sportief. Sommigen gaan schelden en mijn persoon belasteren. De afgeleide wordt gezien als een kroonjuweel en sommigen accepteren niet dat er een nieuwe visie mogelijk is. Een mogelijke lijn van kritiek is dat de nieuwe aanpak onvoldoende formeel zou zijn uitgewerkt. Ongetwijfeld zal de nieuwe aanpak tot toenemende uitwerking leiden. Echter, de nieuwe definitie lijkt voldoende strak voor de beoogde didactiek op de middelbare school en het eerste universitaire jaar voor vakgebieden anders dan wiskunde. Mijn suggestie is dat andere vakgebieden inderdaad gaan kijken wat er in het onderwijs in wiskunde gebeurt. Ook is een parlementair onderzoek te adviseren maar dan schrijf ik vooral als econometrist met aandacht voor de staathuishoudkunde. Inmiddels is mijn conclusie dat de Ned. Ver. van Wiskundeleraren (NVvW) en Beter Onderwijs Nederland (BON) ernstig zieke verenigingen zijn waarin het blijkbaar is toegestaan mensen met nieuwe inzichten te gaan belasteren. Boycot dit land, totdat men leert mensen fatsoenlijk te behandelen. KADER: De ontdekking werd gepubliceerd in het boek A Logic of Exceptions (2007) dat een nieuwe grondslag in de logica legt. In 2008 had Colignatus een langere lijst van problemen in de didactiek van de wiskunde, en adviseerde dat het parlement de bedrijfskolom van het onderwijs in wiskunde zou doorlichten. Het voorstel roept afwijzende reacties op. Colignatus bespreekt de problemen en doet verslag van de situatie in het boek Een kind wil aardige en geen gemene getallen (2012). http://thomascool.eu en http://boycottholland.wordpress.com Elegance
with Substance
De bovenstaande tekst is toegezonden aan de wetenschapsredacties van NRC, Volkskrant, Trouw, ScienceGuide Zie ook de brief
aan de president van de KNAW van 9 juni 2012
|